미적분 예제

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[0, 5]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

단계 7

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

단계 8

먼저 $u = - 0.04 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 0.04 d x$ 이므로 $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = - 0.04 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$- 0.04 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

단계 8.1.2

$- 0.04$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 0.04 x$ 의 미분은 $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 0.04 \cdot 1$

단계 8.1.4

$- 0.04$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 0.04$

단계 8.2

$u = - 0.04 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

단계 8.3

$- 0.04$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 8.4

$u = - 0.04 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

단계 8.5

$- 0.04$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 0.2$

단계 8.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

단계 8.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

단계 9.2

${2.71828182}^{u}$ 와 $\frac{1}{0.04}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

단계 10

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

단계 11

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

단계 12

$\frac{1}{0.04}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{0.04}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{1}{0.04}$ 와 $- 8$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

단계 13.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

단계 14

${2.71828182}^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ 와 $\frac{8}{0.04}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

단계 15.2

$\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

단계 16

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$5$ , $0$ 일 때, $29 x$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

단계 16.2

$- 0.2$ , $0$ 일 때, $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 16.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.1

$29$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 16.3.2

$- 29$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 16.3.3

$145$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 16.3.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 16.3.5

$2.71828182$ 를 $0.2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 16.3.6

$\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 16.3.7

$\frac{1}{1.22140275}$ 에 $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 16.3.8

$1.22140275$ 에 $\ln (2.71828182)$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 16.3.9

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1.1

$1$ 을 $1.22140275$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 17.1.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $0.81873075$ 을 표현하기 위해 $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 17.1.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 17.1.1.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1.4.1

$0.81873075$ 에 $\ln (2.71828182)$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 17.1.1.4.2

$0.81873075$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 17.1.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

단계 17.1.1.6

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

단계 17.1.1.7

$2.71828182$ 에 밑이 $2.71828182$ 인 상용로그를 취하면 약 $0.99999999$ 이 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

단계 17.1.1.8

$0.18126924$ 을 $0.99999999$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

단계 17.1.1.9

$- 1$ 에 $0.18126924$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

단계 17.1.2

$8$ 에 $- 0.18126924$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

단계 17.1.3

$- 1.45015397$ 을 $0.04$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

단계 17.1.4

$- 1$ 에 $- 36.25384939$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

단계 17.2

$145$ 를 $36.25384939$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

단계 18

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

단계 18.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

단계 19

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

$\frac{1}{5}$ 와 $181.25384939$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

단계 19.2

$181.25384939$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$A (x) = 36.25076987$

단계 20