미적분 예제

$f (x) = 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3$ , $[0, 20]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[0, 20]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3 d x)$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 2 x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x + x^{2} + 14 x + 3 d x)$

단계 5.2

$204 x$ 를 $14 x$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} + 218 x + 3 d x)$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} d x + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

단계 8

$218$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $218$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + 3 x]_{0}^{20})$

단계 12

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}$ 와 $3 x]_{0}^{20}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

단계 12.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$20$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

단계 12.2.2

$20$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

$20$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.2

$400$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.2.1

$400$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.2.2.4

$200$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.4

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.4.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 + 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.6

$200$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 \cdot 200 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.7

$218$ 에 $200$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.8

$20$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 8000 + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.9

$\frac{1}{3}$ 와 $8000$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.10

$3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $60$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.12

$60$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + \frac{60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.14.1

$60$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.14.2

$8000$ 를 $180$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.15

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.16

$\frac{1}{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 3 \cdot 0))$

단계 12.2.3.17

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 0))$

단계 12.2.3.18

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - 0)$

단계 12.2.3.19

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} + 0)$

단계 12.2.3.20

$\frac{8180}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3})$

단계 12.2.3.21

공통 분모를 가지는 분수로 $43600$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8180}{3})$

단계 12.2.3.22

$43600$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3}{3} + \frac{8180}{3})$

단계 12.2.3.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3 + 8180}{3})$

단계 12.2.3.24

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.24.1

$43600$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{130800 + 8180}{3})$

단계 12.2.3.24.2

$130800$ 를 $8180$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{138980}{3})$

단계 13

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{138980}{3}$

단계 13.2

$20$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{138980}{3}$

단계 14

$20$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$138980$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (6949)}{3}$

단계 14.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 6949}{3}$

단계 14.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{6949}{3}$

단계 15