미적분 예제

$y = x + e^{- 5 x}$

단계 1

$y = x + e^{- 5 x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x + e^{- 5 x}$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x + e^{- 5 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

단계 2.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 5 x$ 로 바꿉니다.

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 2.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $- 5 x$ 로 바꿉니다.

$1 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 2.2.2

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

단계 2.2.4

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + e^{- 5 x} \cdot - 5$

단계 2.2.5

$e^{- 5 x}$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$1 - 5 e^{- 5 x}$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $1 - 5 e^{- 5 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

단계 3.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 e^{- 5 x}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 5 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

단계 3.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 5 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

단계 3.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

단계 3.2.2.3

$u$ 를 모두 $- 5 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

단계 3.2.3

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

단계 3.2.5

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

단계 3.2.6

$e^{- 5 x}$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$f'' (x) = 0 - 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

단계 3.2.7

$- 5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 25 e^{- 5 x}$

단계 3.3

$0$ 를 $25 e^{- 5 x}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 25 e^{- 5 x}$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$1 - 5 e^{- 5 x} = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + e^{- 5 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

단계 5.1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

단계 5.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 5 x$ 로 바꿉니다.

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 5.1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 5.1.2.1.3

$u$ 를 모두 $- 5 x$ 로 바꿉니다.

$1 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 5.1.2.2

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

단계 5.1.2.4

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + e^{- 5 x} \cdot - 5$

단계 5.1.2.5

$e^{- 5 x}$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$f' (x) = 1 - 5 e^{- 5 x}$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $1 - 5 e^{- 5 x}$ 입니다.

$1 - 5 e^{- 5 x}$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $1 - 5 e^{- 5 x} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$1 - 5 e^{- 5 x} = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 5 e^{- 5 x} = - 1$

단계 6.3

$- 5 e^{- 5 x} = - 1$ 의 각 항을 $- 5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$- 5 e^{- 5 x} = - 1$ 의 각 항을 $- 5$ 로 나눕니다.

$\frac{- 5 e^{- 5 x}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$- 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 5 e^{- 5 x}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

단계 6.3.2.1.2

$e^{- 5 x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- 5 x} = \frac{- 1}{- 5}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$e^{- 5 x} = \frac{1}{5}$

단계 6.4

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- 5 x}) = \ln (\frac{1}{5})$

단계 6.5

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$- 5 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- 5 x})$ 을 전개합니다.

$- 5 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{5})$

단계 6.5.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- 5 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{5})$

단계 6.5.3

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$

단계 6.6

$- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$ 의 각 항을 $- 5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$ 의 각 항을 $- 5$ 로 나눕니다.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

단계 6.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.1

$- 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

단계 6.6.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

단계 6.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 8

계산할 임계점.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$

단계 9

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$25 e^{- 5 (- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5})}$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$25 e^{- 5 \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

단계 10.1.2

$- 5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$25 e^{5 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

단계 10.1.3

공약수로 약분합니다.

$25 e^{5 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

단계 10.1.4

수식을 다시 씁니다.

$25 e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{5}))}$

단계 10.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$25 e^{1 \ln (\frac{1}{5})}$

단계 10.2.2

$\ln (\frac{1}{5})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$25 e^{\ln (\frac{1}{5})}$

단계 10.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$25 (\frac{1}{5})$

단계 10.4

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

$25$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$5 (5) \frac{1}{5}$

단계 10.4.2

공약수로 약분합니다.

$5 \cdot 5 \frac{1}{5}$

단계 10.4.3

수식을 다시 씁니다.

$5$

단계 11

이계도함수가 양수이므로 $x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ 은 극소값입니다.

단계 12

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ to substitute in $f (x) = x + e^{- 5 x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$\frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ 을 $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{5})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{1}{5}))$

단계 12.1.2

$\frac{1}{5}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{5})$ 을 간단히 합니다.

$y = - \ln ({(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{5}})$

단계 12.1.3

$\frac{1}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{5}}}{5^{\frac{1}{5}}})$

단계 12.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$

단계 12.2

수식에서 변수 $x$ 에 $- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$ 을 대입합니다.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) + e^{- 5 (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}))}$

단계 12.3

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1.1

$- 5 (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1.1.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + e^{5 \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}$

단계 12.3.1.1.2

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$ 을 간단히 합니다.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + e^{\ln ({(\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}^{5})}$

단계 12.3.1.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + {(\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}^{5}$

단계 12.3.1.3

$\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1^{5}}{{(5^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

단계 12.3.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{{(5^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

단계 12.3.1.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1.5.1

${(5^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

단계 12.3.1.5.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1.5.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

단계 12.3.1.5.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

단계 12.3.1.5.2

지수값을 계산합니다.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

단계 12.3.2

최종 답은 $- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$ 입니다.

$y = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

단계 13

$f (x) = x + e^{- 5 x}$ 에 대한 극값입니다.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}, - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5})$ 은 극솟값임

단계 14