미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2$ , $[- 4, 0]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[- 4, 0]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\int_{- 4}^{0} \frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2 d x)$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\int_{- 4}^{0} \frac{x^{2}}{2} d x + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \int_{- 4}^{0} x^{2} d x + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

단계 8

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 \int_{- 4}^{0} x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

단계 12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$0$ , $- 4$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

단계 12.2

$0$ , $- 4$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

단계 12.3

$0$ , $- 4$ 일 때, $2 x$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.2

$\frac{1}{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.3

$- 4$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 - \frac{1}{3} \cdot - 64) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.4

$- 64$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 + 64 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.5

$64$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 + \frac{64}{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.6

$0$ 를 $\frac{64}{3}$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.7

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{64}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{64}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.8

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{64}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.9

$64$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.4.9.1

$64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 (32)}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 12.4.9.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.11

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.4.11.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.11.2

공약수로 약분합니다.

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단계 12.4.11.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.11.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.12

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{16}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.13

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.4.13.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 12.4.13.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{8}{1}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.13.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - 1 \cdot 8) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.14

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - 8) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.15

$0$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 \cdot - 8 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.16

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} - 16 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.17

공통 분모를 가지는 분수로 $- 16$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.18

$- 16$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32 - 16 \cdot 3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.20

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.4.20.1

$- 16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32 - 48}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.20.2

$32$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.22

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 0 - 2 \cdot - 4)$

단계 12.4.23

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 0 + 8)$

단계 12.4.24

$0$ 를 $8$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 8)$

단계 12.4.25

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3})$

단계 12.4.26

$8$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3})$

단계 12.4.27

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3})$

단계 12.4.28

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.28.1

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16 + 24}{3})$

단계 12.4.28.2

$- 16$ 를 $24$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{8}{3})$

단계 13

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3}$

단계 14

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (2)}{3}$

단계 14.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2}{3}$

단계 14.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{2}{3}$

단계 15