미적분 예제

$f (x) = 0.1 x^{2} + 1.5 x + 5.5$ , $[0, 5]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[0, 5]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 0.1 x^{2} + 1.5 x + 5.5 d x)$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 0.1 x^{2} d x + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

단계 6

$0.1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $0.1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 \int_{0}^{5} x^{2} d x + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

단계 8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

단계 9

$1.5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $1.5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 \int_{0}^{5} x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

단계 12

상수 규칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

단계 13

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$5$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

단계 13.2

$5$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

단계 13.3

$5$ , $0$ 일 때, $5.5 x$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.3

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.3.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - 0) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} + 0) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.5

$\frac{125}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.6

$0.1$ 와 $\frac{125}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{0.1 \cdot 125}{3} + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.7

$0.1$ 에 $125$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.8

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.9

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.10

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.10.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.10.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - 0) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.11

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} + 0) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.12

$\frac{25}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.13

$1.5$ 와 $\frac{25}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + \frac{1.5 \cdot 25}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.14

$1.5$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + \frac{37.5}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.15

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{12.5}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{37.5}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.16

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{37.5}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.17

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.17.1

$\frac{12.5}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.17.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.17.3

$\frac{37.5}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.17.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2 + 37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.19

$12.5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{25 + 37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.20

$37.5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{25 + 112.5}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.21

$25$ 를 $112.5$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.22

$5.5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 - 5.5 \cdot 0)$

단계 13.4.23

$- 5.5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 + 0)$

단계 13.4.24

$27.5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5)$

단계 13.4.25

공통 분모를 가지는 분수로 $27.5$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 \cdot \frac{6}{6})$

단계 13.4.26

$27.5$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + \frac{27.5 \cdot 6}{6})$

단계 13.4.27

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5 + 27.5 \cdot 6}{6})$

단계 13.4.28

$27.5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5 + 165}{6})$

단계 13.4.29

$137.5$ 를 $165$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{302.5}{6})$

단계 14

$302.5$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (50.41\overline{6})$

단계 15

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 50.41\overline{6}$

단계 15.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 50.41\overline{6}$

단계 16

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$\frac{1}{5}$ 와 $50.41\overline{6}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{50.41\overline{6}}{5}$

단계 16.2

$50.41\overline{6}$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$A (x) = 10.08\overline{3}$

단계 17