미적분 예제

$f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[2, 4]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 1.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 1.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 1.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[2, 4]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{4 (x + 1)}{x^{2}} d x)$

단계 5

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} \frac{x + 1}{x^{2}} d x)$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

단계 6.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

단계 6.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{- 2} d x)$

단계 7

$(x + 1) x^{- 2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.1

$x$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

단계 8.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

단계 8.1.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x)$

단계 8.2

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + x^{- 2} d x)$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\int_{2}^{4} x^{- 1} d x + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

단계 10

$x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

단계 12

답을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$\ln (| x |)]_{2}^{4}$ 와 $- x^{- 1}]_{2}^{4}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |) - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

단계 12.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 12.2.1

$4$ , $2$ 일 때, $\ln (| x |) - x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 ((\ln (| 4 |) - 4^{- 1}) - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

단계 12.2.2

간단히 합니다.

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단계 12.2.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

단계 12.2.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})))$

단계 12.2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{4}))$

단계 12.2.2.4

$- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} + \frac{- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

단계 12.2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

단계 12.2.2.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $4$ 사이의 거리는 $4$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (4) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

단계 13.1.2

$\ln (4)$ 을 $\ln (2^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (2^{2}) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

단계 13.1.3

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (2^{2})$ 을 전개합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

단계 13.1.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.1.4.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (2) - \frac{1}{2})}{4}))$

단계 13.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (- \frac{1}{2})}{4}))$

단계 13.1.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1.4.3.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (\frac{- 1}{2})}{4}))$

단계 13.1.4.3.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})}{4}))$

단계 13.1.4.3.3

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))}{4}))$

단계 13.1.4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 2 \cdot - 1}{4}))$

단계 13.1.4.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2}{4}))$

단계 13.1.4.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

단계 13.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 \ln (2)$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) \cdot \frac{4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

단계 13.3

$2 \ln (2)$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

단계 13.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

단계 13.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.5.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

단계 13.5.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2))$

단계 13.6

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \ln (2) + 1 - 4 \ln (2))$

단계 13.7

$8 \ln (2)$ 에서 $4 \ln (2)$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \ln (2) + 1)$

단계 14

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 \ln (2) + 1)$

단계 15

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $4 \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2^{4}) + 1)$

단계 15.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (16) + 1)$

단계 16

분배 법칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (16) + \frac{1}{2} \cdot 1$

단계 17

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (16)$ 을 간단히 합니다.

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

단계 18

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

단계 19

각 항을 간단히 합니다.

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단계 19.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \ln ({(4^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

단계 19.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

단계 19.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.3.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

단계 19.3.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

단계 19.4

지수값을 계산합니다.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

단계 20