미적분 예제

$f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ , $[1, 3]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[1, 3]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 1.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 1.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 1.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[1, 3]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}} d x)$

단계 5

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x)$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

단계 6.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

단계 6.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{- 2} d x)$

단계 7

$(x^{2} + 1) x^{- 2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

단계 8.1.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{0} + 1 x^{- 2} d x)$

단계 8.2

$x^{0}$ 을 간단히 합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + 1 x^{- 2} d x)$

단계 8.3

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + x^{- 2} d x)$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\int_{1}^{3} d x + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

단계 12

답을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$x]_{1}^{3}$ 와 $- x^{- 1}]_{1}^{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

단계 12.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 12.2.1

$3$ , $1$ 일 때, $x - x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((3 - 3^{- 1}) - (1 - 1^{- 1})))$

단계 12.2.2

간단히 합니다.

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단계 12.2.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

단계 12.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

단계 12.2.2.3

$3$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

단계 12.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

단계 12.2.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.2.2.5.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

단계 12.2.2.5.2

$9$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

단계 12.2.2.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1 \cdot 1)))$

단계 12.2.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1)))$

단계 12.2.2.8

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - 0))$

단계 12.2.2.9

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} + 0))$

단계 12.2.2.10

$\frac{8}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3}))$

단계 12.2.2.11

$4$ 와 $\frac{8}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{4 \cdot 8}{3})$

단계 12.2.2.12

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{32}{3})$

단계 13

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{3}$

단계 14

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.1

$32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (16)}{3}$

단계 14.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 16}{3}$

단계 14.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{16}{3}$

단계 15