미적분 예제

$f (x) = 1 x^{3} - 1 x^{2} + 4$ , $[- 2, 0]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[- 2, 0]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} 1 x^{3} - 1 x^{2} + 4 d x)$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} - 1 x^{2} + 4 d x)$

단계 5.2

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} - x^{2} + 4 d x)$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

단계 8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - \int_{- 2}^{0} x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

단계 10

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + 4 x]_{- 2}^{0})$

단계 12

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0}$ 와 $4 x]_{- 2}^{0}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4} + 4 x]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}))$

단계 12.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$0$ , $- 2$ 일 때, $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}))$

단계 12.2.2

$0$ , $- 2$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} \cdot 0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.2

$\frac{1}{4}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.3

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.5

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{1}{4} \cdot 16 + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.6

$\frac{1}{4}$ 와 $16$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{16}{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.7

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.7.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.7.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4}{1} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.7.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (4 + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.8

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (4 - 8) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.9

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.10

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.11

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.12

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.13

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.13.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.13.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.13.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

단계 12.2.3.14

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 - \frac{- 8}{3}))$

단계 12.2.3.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + \frac{8}{3}))$

단계 12.2.3.16

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + 1 (\frac{8}{3})))$

단계 12.2.3.17

$\frac{8}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + \frac{8}{3}))$

단계 12.2.3.18

$0$ 를 $\frac{8}{3}$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - \frac{8}{3})$

단계 12.2.3.19

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

단계 12.2.3.20

$4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

단계 12.2.3.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4 \cdot 3 - 8}{3})$

단계 12.2.3.22

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.22.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{12 - 8}{3})$

단계 12.2.3.22.2

$12$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4}{3})$

단계 13

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

단계 14

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{3}$

단계 14.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{3}$

단계 14.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{2}{3}$

단계 15