미적분 예제

$f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ , $[- 2, 2]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[- 2, 2]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{15 x}{x^{2} + 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 1 = 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 1.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 1.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 1.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 1.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 1.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 1.3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[- 2, 2]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{15 x}{x^{2} + 1} d x)$

단계 5

$15$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $15$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{- 2}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

단계 6

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 6.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 6.2

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = {(- 2)}^{2} + 1$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{lower} = 4 + 1$

단계 6.3.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 5$

단계 6.4

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

단계 6.5

간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 4 + 1$

단계 6.5.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 5$

단계 6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

단계 6.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

단계 7.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{2 u} d u)$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 (\frac{1}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u))$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $15$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u)$

단계 10

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \ln (| u |)]_{5}^{5})$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$5$ , $5$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 5 |)))$

단계 11.2

간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$\ln (| 5 |)$ 에서 $\ln (| 5 |)$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot 0)$

단계 11.2.2

$\frac{15}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (0)$

단계 12

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

단계 13

$\frac{1}{4}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = 0$

단계 14