미적분 예제

$f (x) = \frac{10}{x + 1}$ , $[0, 9]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[0, 9]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = \frac{10}{x + 1}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{10}{x + 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 1 = 0$

단계 1.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq - 1}$

구간 표기:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq - 1}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[0, 9]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} \frac{10}{x + 1} d x)$

단계 5

$10$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $10$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{0}^{9} \frac{1}{x + 1} d x)$

단계 6

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 6.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 6.2

$u = x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 6.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 6.4

$u = x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 9 + 1$

단계 6.5

$9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 10$

단계 6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 10$

단계 6.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{1}^{10} \frac{1}{u} d u)$

단계 7

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| u |)]_{1}^{10}))$

단계 8

$10$ , $1$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |)))$

단계 9

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |}))$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $10$ 사이의 거리는 $10$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{| 1 |}))$

단계 10.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{1}))$

단계 10.3

$10$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (10))$

단계 11

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot (10 \ln (10))$

단계 11.2

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (10 \ln (10))$

단계 12

$10$ 를 로그 안으로 옮겨 $10 \ln (10)$ 을 간단히 합니다.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10^{10})$

단계 13

$10$ 를 $10$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10000000000)$

단계 14

$\frac{1}{9}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{9} \ln (10000000000)$ 을 간단히 합니다.

$A (x) = \ln (10000000000^{\frac{1}{9}})$

단계 15