미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{8}{3}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$n = \frac{8}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1}$

단계 1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

단계 1.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

단계 1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}}$

단계 1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}}$

단계 1.5.2

$8$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

단계 1.6

$\frac{8}{3}$ 와 $x^{\frac{5}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{8}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ 의 미분은 $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}})$

단계 2.2

$n = \frac{5}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

단계 2.6.2

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

단계 2.7

$\frac{5}{3}$ 와 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

단계 2.8

$\frac{8}{3}$ 에 $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{8 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 3}$

단계 2.9

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

단계 2.9.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$n = \frac{8}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

단계 4.1.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

단계 4.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}}$

단계 4.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}}$

단계 4.1.5.2

$8$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

단계 4.1.6

$\frac{8}{3}$ 와 $x^{\frac{5}{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ 입니다.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$8 x^{\frac{5}{3}} = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$8 x^{\frac{5}{3}} = 0$ 의 각 항을 $8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$8 x^{\frac{5}{3}} = 0$ 의 각 항을 $8$ 로 나눕니다.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{8} = \frac{0}{8}$

단계 5.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{8} = \frac{0}{8}$

단계 5.3.1.2.2

$x^{\frac{5}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{5}{3}} = \frac{0}{8}$

단계 5.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.3.1

$0$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{5}{3}} = 0$

단계 5.3.2

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $\frac{3}{5}$ 승합니다.

${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

단계 5.3.3

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1

${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

단계 5.3.3.1.1.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

단계 5.3.3.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{5}}$

단계 5.3.3.1.1.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{5}}$

단계 5.3.3.1.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} = 0^{\frac{3}{5}}$

단계 5.3.3.1.1.2

간단히 합니다.

$x = 0^{\frac{3}{5}}$

단계 5.3.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$0^{\frac{3}{5}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1.1

$0$ 을 $0^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = {(0^{5})}^{\frac{3}{5}}$

단계 5.3.3.2.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = 0^{5 (\frac{3}{5})}$

단계 5.3.3.2.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x = 0^{5 (\frac{3}{5})}$

단계 5.3.3.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 0^{3}$

단계 5.3.3.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x = 0$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{40 {(0)}^{\frac{2}{3}}}{9}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{40 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}{9}$

단계 9.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{40 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{9}$

단계 9.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{40 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{9}$

단계 9.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{40 \cdot 0^{2}}{9}$

단계 9.1.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{40 \cdot 0}{9}$

단계 9.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$40$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{9}$

단계 9.2.2

$0$ 을 $9$ 로 나눕니다.

$0$

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = \frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

단계 10.2.2

최종 답은 $\frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 입니다.

$\frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

단계 10.3

1차 도함수 $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ 의 $(0, \infty)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = \frac{8 {(2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (2) = \frac{2^{3} \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (2) = \frac{2^{3 + \frac{5}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (2) = \frac{2^{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.1.4

$3$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 \cdot 3 + 5}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1.6.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{9 + 5}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.1.6.2

$9$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$

단계 10.3.2.2

최종 답은 $\frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$ 입니다.

$\frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$

단계 10.4

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 0$ 은 극솟값입니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11