미적분 예제

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$0.3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.3 x^{1.25}$ 의 미분은 $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ 입니다.

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 1.2.2

$n = 1.25$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 1.2.3

$1.25$ 에 $0.3$ 을 곱합니다.

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 1.5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 1.5 x$ 의 미분은 $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 1.3.3

$- 1.5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$88.6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $88.6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $88.6$ 입니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

단계 1.4.2

$0.375 x^{0.25} - 1.5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $0.375 x^{0.25} - 1.5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (0.375 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$0.375$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.375 x^{0.25}$ 의 미분은 $0.375 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ 입니다.

$f'' (x) = 0.375 \frac{d}{d x} (x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

단계 2.2.2

$n = 0.25$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0.375 (0.25 x^{- 0.75}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

단계 2.2.3

$0.25$ 에 $0.375$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

단계 2.3

$- 1.5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1.5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1.5$ 입니다.

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + 0$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 0.09375 (\frac{1}{x^{0.75}}) + 0$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$0.09375$ 와 $\frac{1}{x^{0.75}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}} + 0$

단계 2.4.2.2

$\frac{0.09375}{x^{0.75}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$0.3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.3 x^{1.25}$ 의 미분은 $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ 입니다.

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 4.1.2.2

$n = 1.25$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 4.1.2.3

$1.25$ 에 $0.3$ 을 곱합니다.

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 1.5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 1.5 x$ 의 미분은 $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 4.1.3.3

$- 1.5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

단계 4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$88.6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $88.6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $88.6$ 입니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

단계 4.1.4.2

$0.375 x^{0.25} - 1.5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 0.375 x^{0.25} - 1.5$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $0.375 x^{0.25} - 1.5$ 입니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $1.5$ 를 더합니다.

$0.375 x^{0.25} = 1.5$

단계 5.3

$0.375 x^{0.25} = 1.5$ 의 각 항을 $0.375$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$0.375 x^{0.25} = 1.5$ 의 각 항을 $0.375$ 로 나눕니다.

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$0.375$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

단계 5.3.2.1.2

$x^{0.25}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{0.25} = \frac{1.5}{0.375}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$1.5$ 을 $0.375$ 로 나눕니다.

$x^{0.25} = 4$

단계 5.4

소수 형태의 지수를 분수 형태의 지수로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

10의 거듭제곱 위에 소수를 적어 소수를 분수로 변환합니다. 소수점 오른쪽에 $2$ 개의 숫자가 있으므로 소수를 $10^{2}$ $(100)$ 위에 적습니다. 그 다음, 소수 왼쪽에 정수를 씁니다.

$x^{0 \frac{25}{100}} = 4$

단계 5.4.2

분수를 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$0 \frac{25}{100}$ 를 가분수로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

대분수는 정수와 진분수의 합입니다.

$x^{0 + \frac{25}{100}} = 4$

단계 5.4.2.1.2

$0$ 를 $\frac{25}{100}$ 에 더합니다.

$x^{\frac{25}{100}} = 4$

단계 5.4.2.2

$25$ 및 $100$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

$25$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$x^{\frac{25 (1)}{100}} = 4$

단계 5.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.2.1

$100$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

단계 5.4.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

단계 5.4.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{\frac{1}{4}} = 4$

단계 5.5

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $\frac{1}{0.25}$ 승합니다.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

단계 5.6

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

단계 5.6.1.1.1.2

$0.25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1.1.1.2.1

$1$ 에서 $0.25$ 를 인수분해합니다.

$x^{\frac{0.25 (4)}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

단계 5.6.1.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{0.25 \cdot 4}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

단계 5.6.1.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{\frac{4}{4}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

단계 5.6.1.1.1.3

$4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x^{1} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

단계 5.6.1.1.2

간단히 합니다.

$x = 4^{\frac{1}{0.25}}$

단계 5.6.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1

$4^{\frac{1}{0.25}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1.1

$1$ 을 $0.25$ 로 나눕니다.

$x = 4^{4}$

단계 5.6.2.1.2

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$x = 256$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$0.25$ 을(를) 분수로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

소수점을 제거하려면 $\frac{100}{100}$ 을(를) 곱합니다.

$0.375 x^{\frac{100 \cdot 0.25}{100}} - 1.5$

단계 6.1.1.2

$100$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$0.375 x^{\frac{25}{100}} - 1.5$

단계 6.1.1.3

$25$ 및 $100$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.1

$25$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$0.375 x^{\frac{25 (1)}{100}} - 1.5$

단계 6.1.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1

$100$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

단계 6.1.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

단계 6.1.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0.375 x^{\frac{1}{4}} - 1.5$

단계 6.1.2

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$0.375 \sqrt[4]{x^{1}} - 1.5$

단계 6.1.3

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$0.375 \sqrt[4]{x} - 1.5$

단계 6.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sqrt[4]{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 작게 설정해야 합니다.

$x < 0$

단계 6.3

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 256$

단계 8

$x = 256$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{0.09375}{{(256)}^{0.75}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$256$ 를 $0.75$ 승 합니다.

$\frac{0.09375}{64}$

단계 9.2

$0.09375$ 을 $64$ 로 나눕니다.

$0.00146484$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 256$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 256$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 256$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $256$ 을 대입합니다.

$f (256) = 0.3 {(256)}^{1.25} - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$256$ 를 $1.25$ 승 합니다.

$f (256) = 0.3 \cdot 1024 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

단계 11.2.1.2

$0.3$ 에 $1024$ 을 곱합니다.

$f (256) = 307.2 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

단계 11.2.1.3

$- 1.5$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$f (256) = 307.2 - 384 + 88.6$

단계 11.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$307.2$ 에서 $384$ 을 뺍니다.

$f (256) = - 76.8 + 88.6$

단계 11.2.2.2

$- 76.8$ 를 $88.6$ 에 더합니다.

$f (256) = 11.8$

단계 11.2.3

최종 답은 $11.8$ 입니다.

$y = 11.8$

단계 12

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ 에 대한 극값입니다.

$(256, 11.8)$ 은 극솟값임

단계 13