미적분 예제

$f (x) = \cos (\tan (3 x))$

단계 1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \tan (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\tan (3 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

단계 1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\tan (3 x)$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\tan (3 x)) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

단계 2

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\tan (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$- \sin (\tan (3 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\tan (3 x)) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x) \cdot 1$

단계 3.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 3 \sec^{2} (3 x) \sin (\tan (3 x))$

단계 4.2

$\sec (3 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 3 {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \sin (\tan (3 x))$

단계 4.3

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 3 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

단계 4.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 3 \frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

단계 4.5

$- 3$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

단계 4.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

단계 4.7

$\sin (\tan (3 x))$ 와 $\frac{3}{\cos^{2} (3 x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (\tan (3 x)) \cdot 3}{\cos^{2} (3 x)}$

단계 4.8

$\sin (\tan (3 x))$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{3 \cdot \sin (\tan (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}$

단계 4.9

$\cos^{2} (3 x)$ 에서 $\cos (3 x)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3 \sin (\tan (3 x))}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

단계 4.10

분수를 나눕니다.

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (\tan (3 x))}{\cos (3 x)})$

단계 4.11

$\frac{\sin (\tan (3 x))}{\cos (3 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}))$

단계 4.12

$\sin (\tan (3 x))$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\frac{\sin (\tan (3 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}))$

단계 4.13

간단히 합니다.

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단계 4.13.1

$\sin (\tan (3 x))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}))$

단계 4.13.2

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ 을 $\sec (3 x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

단계 4.14

분수를 나눕니다.

$- (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

단계 4.15

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ 을 $\sec (3 x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{3}{1} \sec (3 x) (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

단계 4.16

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (3 \sec (3 x) (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

단계 4.17

$3 \sec (3 x) (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x))$ 을 곱합니다.

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단계 4.17.1

$\sec (3 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (3 (\sec^{1} (3 x) \sec (3 x)) \sin (\tan (3 x)))$

단계 4.17.2

$\sec (3 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (3 (\sec^{1} (3 x) \sec^{1} (3 x)) \sin (\tan (3 x)))$

단계 4.17.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- (3 {\sec (3 x)}^{1 + 1} \sin (\tan (3 x)))$

단계 4.17.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- (3 \sec^{2} (3 x) \sin (\tan (3 x)))$

단계 4.18

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 \sec^{2} (3 x) \sin (\tan (3 x))$