미적분 예제

$f (x) = 10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [10 x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$10 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x y$ 의 미분은 $10 y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 1.2.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 1.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 1.4

$- 5 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5 y^{2}$ 입니다.

$10 y - 3 x^{2} + 0$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$10 y - 3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 y - 3 x^{2}$

단계 1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 x^{2} + 10 y$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 3 x^{2} + 10 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 y]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 y)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (10 y)$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (10 y)$

단계 2.2.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (10 y)$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$10 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10 y$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 x + 0$

단계 2.3.2

$- 6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 6 x$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [10 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.2.1

$10 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x y$ 의 미분은 $10 y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 4.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 4.1.2.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 4.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 4.1.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

단계 4.1.4

$- 5 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5 y^{2}$ 입니다.

$10 y - 3 x^{2} + 0$

단계 4.1.5

간단히 합니다.

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단계 4.1.5.1

$10 y - 3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 y - 3 x^{2}$

단계 4.1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 10 y$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 3 x^{2} + 10 y$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 10 y$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 3 x^{2} + 10 y = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $10 y$ 를 뺍니다.

$- 3 x^{2} = - 10 y$

단계 5.3

$- 3 x^{2} = - 10 y$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$- 3 x^{2} = - 10 y$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

단계 5.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 10 y}{- 3}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x^{2} = \frac{10 y}{3}$

단계 5.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$

단계 5.5

$\pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$\sqrt{\frac{10 y}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$

단계 5.5.2

$\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 5.5.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

$\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 5.5.3.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 5.5.3.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 5.5.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 5.5.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 5.5.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.5.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.5.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.5.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 5.5.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3}$

단계 5.5.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.5.4.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y \cdot 3}}{3}$

단계 5.5.4.2

$3$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

단계 5.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 5.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

단계 5.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

단계 5.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

단계 8

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 6 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

단계 9

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1

$- 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (- 2) \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

단계 9.2

공약수로 약분합니다.

$3 \cdot - 2 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

단계 9.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \sqrt{30 y}$

단계 10

1차 도함수 판정에 실패했으므로 극값이 없습니다.

극값 없음

단계 11