미적분 예제

$f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.1.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ 입니다.

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.1.4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ 을 ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.1.4.2

${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.1.4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.3.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.3.5.2

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 1.4

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.5.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.5.3

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.5.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.5.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

단계 1.5.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

단계 1.5.6.2

$- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

단계 1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

단계 1.6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 1.6.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.4.1

$- 6$ 와 $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 1.6.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 1.6.4.3

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 1.6.4.4

$- 10$ 와 $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 1.6.4.5

$- 10$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 1.6.4.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 1.6.4.7

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

단계 1.6.4.8

$10$ 와 $\frac{2}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

단계 1.6.4.9

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

단계 1.6.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{20}{x^{3}}$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 20 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.5

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 20 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 20 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.7

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 20 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.2.8

$- 3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ 의 미분은 $- 60 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$

단계 2.3.2

$\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ 을 ${({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$

단계 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 ${(x + 3)}^{3}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3}))$

단계 2.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

단계 2.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 ${(x + 3)}^{3}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

단계 2.3.4

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3)))$

단계 2.3.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

단계 2.3.4.3

$u_{3}$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

단계 2.3.5

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))))$

단계 2.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))))$

단계 2.3.7

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

단계 2.3.8

${({(x + 3)}^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{3 \cdot - 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

단계 2.3.8.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

단계 2.3.9

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1))$

단계 2.3.10

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2}))$

단계 2.3.11

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 6} {(x + 3)}^{2})$

단계 2.3.12

지수를 더하여 ${(x + 3)}^{- 6}$ 에 ${(x + 3)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.12.1

${(x + 3)}^{2}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 ({(x + 3)}^{2} {(x + 3)}^{- 6}))$

단계 2.3.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{2 - 6})$

단계 2.3.12.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 4})$

단계 2.3.13

$- 3$ 에 $- 60$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

단계 2.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

단계 2.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$- 60$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

단계 2.4.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

단계 2.4.3.3

$180$ 와 $\frac{1}{{(x + 3)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + \frac{180}{{(x + 3)}^{4}}$

단계 2.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{180}{{(x + 3)}^{4}} - \frac{60}{x^{4}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 4.1.1.2

합의 법칙에 의해 $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.1.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ 입니다.

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.1.4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.4.1

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ 을 ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.1.4.2

${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.1.4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.2.3

$u$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.3.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.3.5.2

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

단계 4.1.4

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.1.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.1.5.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.1.5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.1.5.3

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.1.5.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.1.5.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

단계 4.1.5.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

단계 4.1.5.6.2

$- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

단계 4.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

단계 4.1.6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.6.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.4.1

$- 6$ 와 $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.6.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.6.4.3

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.6.4.4

$- 10$ 와 $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.6.4.5

$- 10$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.6.4.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 4.1.6.4.7

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

단계 4.1.6.4.8

$10$ 와 $\frac{2}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

단계 4.1.6.4.9

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

단계 4.1.6.5

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

단계 5.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x \approx 6.78350009$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{20}{x^{3}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{3} = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 6.2.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 6.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 6.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x + 3)}^{3} = 0$

단계 6.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 6.4.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 6.5

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x = - 3, x = 0$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 6.78350009$

단계 8

$x = 6.78350009$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{180}{{((6.78350009) + 3)}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.1

$6.78350009$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{180}{{9.78350009}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

단계 9.1.1.2

$9.78350009$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{180}{9161.72000483} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

단계 9.1.2

$180$ 을 $9161.72000483$ 로 나눕니다.

$0.01964696 - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

단계 9.1.3

$6.78350009$ 를 $4$ 승 합니다.

$0.01964696 - \frac{60}{2117.46062276}$

단계 9.1.4

$60$ 을 $2117.46062276$ 로 나눕니다.

$0.01964696 - 1 \cdot 0.02833582$

단계 9.1.5

$- 1$ 에 $0.02833582$ 을 곱합니다.

$0.01964696 - 0.02833582$

단계 9.2

$0.01964696$ 에서 $0.02833582$ 을 뺍니다.

$- 0.00868886$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 6.78350009$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 6.78350009$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = 6.78350009$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6.78350009$ 을 대입합니다.

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{((6.78350009) + 3)}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1.1

$6.78350009$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{9.78350009}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

단계 11.2.1.1.2

$9.78350009$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{95.71687419} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

단계 11.2.1.2

$3$ 을 $95.71687419$ 로 나눕니다.

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

단계 11.2.1.3

$6.78350009$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{46.01587359})$

단계 11.2.1.4

$1$ 을 $46.01587359$ 로 나눕니다.

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 1 \cdot 0.02173163)$

단계 11.2.1.5

$- 1$ 에 $0.02173163$ 을 곱합니다.

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 0.02173163)$

단계 11.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$0.03134243$ 에서 $0.02173163$ 을 뺍니다.

$f (6.78350009) = 10 \cdot 0.0096108$

단계 11.2.2.2

$10$ 에 $0.0096108$ 을 곱합니다.

$f (6.78350009) = 0.09610804$

단계 11.2.3

최종 답은 $0.09610804$ 입니다.

$y = 0.09610804$

단계 12

$f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ 에 대한 극값입니다.

$(6.78350009, 0.09610804)$ 은 극댓값임

단계 13