미적분 예제

$f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $10 x - 10 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [10 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

단계 1.2.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 \cos (x)$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$10 - 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$10 - 10 (- \sin (x))$

단계 1.3.3

$- 1$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$10 + 10 \sin (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $10 + 10 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

단계 2.1.2

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 \sin (x)$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

단계 2.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 10 \cos (x)$

단계 2.3

$0$ 를 $10 \cos (x)$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 10 \cos (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$10 + 10 \sin (x) = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$10 \sin (x) = - 10$

단계 5

$10 \sin (x) = - 10$ 의 각 항을 $10$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$10 \sin (x) = - 10$ 의 각 항을 $10$ 로 나눕니다.

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

단계 5.2.1.2

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = \frac{- 10}{10}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$- 10$ 을 $10$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = - 1$

단계 6

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (- 1)$

단계 7

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\arcsin (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{2}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{2}$

단계 8

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

단계 9

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

단계 9.2

결과 각인 $\frac{3 π}{2}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 10

방정식 $x = - \frac{π}{2}$ 의 해.

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

단계 11

$x = - \frac{π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$10 \cos (- \frac{π}{2})$

단계 12

이차 미분값을 구합니다.

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단계 12.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$10 \cos (\frac{3 π}{2})$

단계 12.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$10 \cos (\frac{π}{2})$

단계 12.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$10 \cdot 0$

단계 12.4

$10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 13

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 13.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

단계 13.2

1차 도함수 $10 + 10 \sin (x)$ 의 $(- \infty, - \frac{π}{2})$ 구간에서 $- 4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 13.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f' (- 4) = 10 + 10 \sin (- 4)$

단계 13.2.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 13.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.2.2.1.1

$\sin (- 4)$ 의 값을 구합니다.

$f' (- 4) = 10 + 10 \cdot 0.75680249$

단계 13.2.2.1.2

$10$ 에 $0.75680249$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = 10 + 7.56802495$

단계 13.2.2.2

$10$ 를 $7.56802495$ 에 더합니다.

$f' (- 4) = 17.56802495$

단계 13.2.2.3

최종 답은 $17.56802495$ 입니다.

$17.56802495$

단계 13.3

1차 도함수 $10 + 10 \sin (x)$ 의 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 13.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 10 + 10 \sin (0)$

단계 13.3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 13.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.2.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f' (0) = 10 + 10 \cdot 0$

단계 13.3.2.1.2

$10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 10 + 0$

단계 13.3.2.2

$10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (0) = 10$

단계 13.3.2.3

최종 답은 $10$ 입니다.

$10$

단계 13.4

1차 도함수 $10 + 10 \sin (x)$ 의 $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ 구간에서 $7$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 13.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $7$ 을 대입합니다.

$f' (7) = 10 + 10 \sin (7)$

단계 13.4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 13.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.4.2.1.1

$\sin (7)$ 의 값을 구합니다.

$f' (7) = 10 + 10 \cdot 0.65698659$

단계 13.4.2.1.2

$10$ 에 $0.65698659$ 을 곱합니다.

$f' (7) = 10 + 6.56986598$

단계 13.4.2.2

$10$ 를 $6.56986598$ 에 더합니다.

$f' (7) = 16.56986598$

단계 13.4.2.3

최종 답은 $16.56986598$ 입니다.

$16.56986598$

단계 13.5

1차 도함수의 부호가 $x = - \frac{π}{2}$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 13.6

$f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$ 에 대해 극댓값 또는 극솟값 없음.

극댓값 또는 극솟값 없음

단계 14