미적분 예제

$f (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

단계 1.3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 1.3.3

${(x^{2} - 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 1.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 1.4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 1.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 1.5.2

${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.2.1

${(x^{2} - 1)}^{2}$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 1.5.2.2

$- 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 1.5.2.3

$(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

단계 1.6

공약수로 약분합니다.

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단계 1.6.1

${(x^{2} - 1)}^{4}$ 에서 $x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.6.2

공약수로 약분합니다.

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.9

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.10

식을 간단히 합니다.

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단계 1.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.10.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.15

$x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 2 \frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.16

$- 2$ 와 $\frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.18

간단히 합니다.

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단계 1.18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.18.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.18.2.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 1.18.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.2

$f (x) = - 6 x^{2} - 2$ , $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{2}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot 2}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $- 6 x^{2} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.3

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{2}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.5

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.6

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x + 0) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.7

$- 12 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.4

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5

미분합니다.

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단계 2.5.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.5

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.5.2

${(x^{2} - 1)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) (2 \cdot ({(x^{2} - 1)}^{2} x))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.5.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.6

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot 0$

단계 2.5.7

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.7.1

$\frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + 0$

단계 2.5.7.2

$- \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6

간단히 합니다.

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단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.2.1

${(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.6.2.1.1

${(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x)$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.1.2

$(- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + {(x^{2} - 1)}^{2} x (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.1.3

${(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + {(x^{2} - 1)}^{2} x (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1^{2})}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{{((x + 1) (x - 1))}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.4

$(x + 1) (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.5

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.5.1

$- 6$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) + 36 x^{2} - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.5.2

$- 6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} \cdot - 12 - 1 \cdot - 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.6.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 12$ 이동하기

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (- 12 \cdot x^{2} - 1 \cdot - 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.6.3

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (- 12 x^{2} + 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.7

$- 12 x^{2}$ 를 $36 x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 x^{2} + 12 + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.8

$12$ 를 $12$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 x^{2} + 24)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.9

$24 x^{2} + 24$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.6.2.9.1

$24 x^{2}$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2}) + 24)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.9.2

$24$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2}) + 24 (1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.2.9.3

$24 (x^{2}) + 24 (1)$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x \cdot (24 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.3

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x$ 의 왼쪽으로 $24$ 이동하기

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

단계 2.6.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.6.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{6}}$

단계 2.6.4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{6}}$

단계 2.6.4.3

$(x + 1) (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}}$

단계 2.6.5

${(x + 1)}^{2}$ 및 ${(x + 1)}^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.5.1

$24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)$ 에서 ${(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}}$

단계 2.6.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.5.2.1

${(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}$ 에서 ${(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6})}$

단계 2.6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6})}$

단계 2.6.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}}$

단계 2.6.6

${(x - 1)}^{2}$ 및 ${(x - 1)}^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.6.1

$24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)$ 에서 ${(x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}}$

단계 2.6.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.6.2.1

${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}$ 에서 ${(x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4})}$

단계 2.6.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4})}$

단계 2.6.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{24 x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6