미적분 예제

$f (x) = 8 \cos^{4} (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 \cos^{4} (x)$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

단계 1.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$8 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$8 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.3

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$32 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

단계 1.5

$- 1$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$- 32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ 의 미분은 $- 32 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) \sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x) \sin (x))$

단계 2.2

$f (x) = \cos^{3} (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

단계 2.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

단계 2.4

지수를 더하여 $\cos^{3} (x)$ 에 $\cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.1

$\cos^{3} (x)$ 에 $\cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.1.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

단계 2.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - 32 ({\cos (x)}^{3 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

단계 2.4.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

단계 2.5

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

단계 2.5.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

단계 2.6

$\sin (x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \cdot (\sin (x) \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 2.7

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

단계 2.8

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x))$

단계 2.9

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

단계 2.10

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

단계 2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x))$

단계 2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

단계 2.13

간단히 합니다.

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단계 2.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) - 32 (- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

단계 2.13.2

$- 3$ 에 $- 32$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) + 96 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

단계 2.13.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 96 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 32 \cos^{4} (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

단계 5

$\cos^{3} (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$\cos^{3} (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos^{3} (x) = 0$

단계 5.2

$\cos^{3} (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

단계 5.2.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 5.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$\cos (x) = 0$

단계 5.2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (0)$

단계 5.2.4

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.4.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 5.2.5

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 5.2.6

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 5.2.6.2

분수를 통분합니다.

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단계 5.2.6.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 5.2.6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 5.2.6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.6.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 5.2.6.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 5.2.7

방정식 $x = \frac{π}{2}$ 의 해.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

단계 6

$\sin (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$\sin (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) = 0$

단계 6.2

$\sin (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 6.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 6.2.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 6.2.4

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 6.2.5

방정식 $x = 0$ 의 해.

$x = 0, π$

단계 7

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

단계 8

$x = \frac{π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$96 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$96 \cdot 0^{2} \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$96 \cdot 0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.3

$96$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 \cdot 1^{2} - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$0 \cdot 1 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.6

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.7

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$0 - 32 \cdot 0^{4}$

단계 9.1.8

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 32 \cdot 0$

단계 9.1.9

$- 32$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0$

단계 9.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = - 32 \cos^{3} (- 2) \sin (- 2)$

단계 10.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$\cos (- 2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (- 2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (- 2)$

단계 10.2.2.2

$- 0.41614683$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (- 2))$

단계 10.2.2.3

$- 32$ 에 $- 0.07206755$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 2.30616178 \sin (- 2)$

단계 10.2.2.4

$\sin (- 2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (- 2) = 2.30616178 \cdot - 0.90929742$

단계 10.2.2.5

$2.30616178$ 에 $- 0.90929742$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 2.09698697$

단계 10.2.2.6

최종 답은 $- 2.09698697$ 입니다.

$- 2.09698697$

단계 10.3

1차 도함수 $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ 의 $(0, \frac{π}{2})$ 구간에서 $1$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = - 32 \cos^{3} (1) \sin (1)$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

$\cos (1)$ 의 값을 구합니다.

$f' (1) = - 32 \cdot ({0.5403023}^{3} \sin (1))$

단계 10.3.2.2

$0.5403023$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (1) = - 32 \cdot (0.1577286 \sin (1))$

단계 10.3.2.3

$- 32$ 에 $0.1577286$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 5.04731536 \sin (1)$

단계 10.3.2.4

$\sin (1)$ 의 값을 구합니다.

$f' (1) = - 5.04731536 \cdot 0.84147098$

단계 10.3.2.5

$- 5.04731536$ 에 $0.84147098$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - 4.24716943$

단계 10.3.2.6

최종 답은 $- 4.24716943$ 입니다.

$- 4.24716943$

단계 10.4

1차 도함수 $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ 의 $(\frac{π}{2}, π)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = - 32 \cos^{3} (2) \sin (2)$

단계 10.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.2.1

$\cos (2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (2)$

단계 10.4.2.2

$- 0.41614683$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (2))$

단계 10.4.2.3

$- 32$ 에 $- 0.07206755$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 2.30616178 \sin (2)$

단계 10.4.2.4

$\sin (2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (2) = 2.30616178 \cdot 0.90929742$

단계 10.4.2.5

$2.30616178$ 에 $0.90929742$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 2.09698697$

단계 10.4.2.6

최종 답은 $2.09698697$ 입니다.

$2.09698697$

단계 10.5

1차 도함수 $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ 의 $(π, \frac{3 π}{2})$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = - 32 \cos^{3} (4) \sin (4)$

단계 10.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.1

$\cos (4)$ 의 값을 구합니다.

$f' (4) = - 32 {(- 0.65364362)}^{3} \sin (4)$

단계 10.5.2.2

$- 0.65364362$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (4) = - 32 \cdot (- 0.27926922 \sin (4))$

단계 10.5.2.3

$- 32$ 에 $- 0.27926922$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 8.93661523 \sin (4)$

단계 10.5.2.4

$\sin (4)$ 의 값을 구합니다.

$f' (4) = 8.93661523 \cdot - 0.75680249$

단계 10.5.2.5

$8.93661523$ 에 $- 0.75680249$ 을 곱합니다.

$f' (4) = - 6.7632527$

단계 10.5.2.6

최종 답은 $- 6.7632527$ 입니다.

$- 6.7632527$

단계 10.6

1차 도함수 $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ 의 $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ 구간에서 $7$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $7$ 을 대입합니다.

$f' (7) = - 32 \cos^{3} (7) \sin (7)$

단계 10.6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 10.6.2.1

$\cos (7)$ 의 값을 구합니다.

$f' (7) = - 32 \cdot ({0.75390225}^{3} \sin (7))$

단계 10.6.2.2

$0.75390225$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (7) = - 32 \cdot (0.42849437 \sin (7))$

단계 10.6.2.3

$- 32$ 에 $0.42849437$ 을 곱합니다.

$f' (7) = - 13.71182002 \sin (7)$

단계 10.6.2.4

$\sin (7)$ 의 값을 구합니다.

$f' (7) = - 13.71182002 \cdot 0.65698659$

단계 10.6.2.5

$- 13.71182002$ 에 $0.65698659$ 을 곱합니다.

$f' (7) = - 9.00848199$

단계 10.6.2.6

최종 답은 $- 9.00848199$ 입니다.

$- 9.00848199$

단계 10.7

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 10.8

1차 도함수의 부호가 $x = \frac{π}{2}$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = \frac{π}{2}$ 은 극솟값입니다.

$x = \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다.

단계 10.9

1차 도함수의 부호가 $x = π$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = π$ 은 극댓값입니다.

$x = π$ 은 극대값입니다

단계 10.10

1차 도함수의 부호가 $x = \frac{3 π}{2}$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 10.11

$f (x) = 8 \cos^{4} (x)$ 에 대한 극값입니다.

$x = \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다.

$x = π$ 은 극대값입니다

$x = \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다.

$x = π$ 은 극대값입니다

단계 11