미적분 예제

$f (x) = 6 \csc (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 \csc (x)$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

단계 1.2

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$6 (- \csc (x) \cot (x))$

단계 1.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 6 (\csc (x) \cot (x))$

단계 1.3.2

$- 6 \csc (x) \cot (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 6 \cot (x) \csc (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 \cot (x) \csc (x)$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

단계 2.2

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = \csc (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 6 (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

단계 2.3

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

단계 2.4

$\cot (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

단계 2.5

$\cot (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

단계 2.8

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

단계 2.9

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

단계 2.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

단계 2.11

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

단계 2.12

간단히 합니다.

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단계 2.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 6 (- \csc^{3} (x))$

단계 2.12.2

항을 묶습니다.

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단계 2.12.2.1

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 6 (- \csc^{3} (x))$

단계 2.12.2.2

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 \csc (x) \cot^{2} (x) + 6 \csc^{3} (x)$

단계 2.12.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 6 \cot^{2} (x) \csc (x) + 6 \csc^{3} (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 6 \cot (x) \csc (x) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

단계 5

$\cot (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$\cot (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cot (x) = 0$

단계 5.2

$\cot (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.2.1

코탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코탄젠트의 역을 취합니다.

$x = arccot (0)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$arccot (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 5.2.3

코탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + \frac{π}{2}$

단계 5.2.4

$π + \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

단계 5.2.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 5.2.4.2.1

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

단계 5.2.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

단계 5.2.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.4.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

단계 5.2.4.3.2

$2 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 5.2.5

방정식 $x = \frac{π}{2}$ 의 해.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

단계 6

$\csc (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$\csc (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\csc (x) = 0$

단계 6.2

코시컨트의 범위는 $y \leq - 1$ 과 $y \geq 1$ 입니다. $0$ 은 이 구간에 속하지 않으므로 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 7

$- 6 \cot (x) \csc (x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

단계 8

$x = \frac{π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$6 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$\cot (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$6 \cdot 0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$6 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.3

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.4

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 \cdot 1 + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.5

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

단계 9.1.6

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + 6 \cdot 1^{3}$

단계 9.1.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$0 + 6 \cdot 1$

단계 9.1.8

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 6$

단계 9.2

$0$ 를 $6$ 에 더합니다.

$6$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{2}$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = \frac{π}{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \csc (\frac{π}{2})$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 1$

단계 11.2.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 6$

단계 11.2.3

최종 답은 $6$ 입니다.

$y = 6$

단계 12

$x = \frac{3 π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$6 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

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단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 코탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$6 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.2

$\cot (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$6 {(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$6 \cdot 0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$6 \cdot 0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.5

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 코시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.7

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 (- 1 \cdot 1) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.8

$0 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.8.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 \cdot - 1 + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.8.2

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

단계 13.1.9

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 코시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$0 + 6 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

단계 13.1.10

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

단계 13.1.11

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 6 {(- 1)}^{3}$

단계 13.1.12

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$0 + 6 \cdot - 1$

단계 13.1.13

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 6$

단계 13.2

$0$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- 6$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{3 π}{2}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{3 π}{2}$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = \frac{3 π}{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \csc (\frac{3 π}{2})$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 코시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 (- \csc (\frac{π}{2}))$

단계 15.2.2

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 (- 1 \cdot 1)$

단계 15.2.3

$6 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \cdot - 1$

단계 15.2.3.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 6$

단계 15.2.4

최종 답은 $- 6$ 입니다.

$y = - 6$

단계 16

$f (x) = 6 \csc (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{π}{2}, 6)$ 은 극솟값임

$(\frac{3 π}{2}, - 6)$ 은 극댓값임

단계 17