미적분 예제

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$4.1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4.1 \sin (x)$ 의 미분은 $4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

단계 1.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$4.1 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 1.6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 1.6 \cos (x)$ 의 미분은 $- 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$4.1 \cos (x) - 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$4.1 \cos (x) - 1.6 (- \sin (x))$

단계 1.3.3

$- 1$ 에 $- 1.6$ 을 곱합니다.

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4.1 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4.1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4.1 \cos (x)$ 의 미분은 $4.1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 4.1 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

단계 2.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 4.1 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

단계 2.2.3

$- 1$ 에 $4.1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$1.6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $1.6 \sin (x)$ 의 미분은 $1.6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

단계 2.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \cos (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x) = 0$

단계 4

방정식의 각 항을 $\cos (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 5

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 5.2

$4.1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4.1 + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 6

분수를 나눕니다.

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 8

$1.6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 9

분수를 나눕니다.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

단계 10

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

단계 11

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

단계 12

$0$ 에 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0$

단계 13

방정식의 양변에서 $4.1$ 를 뺍니다.

$1.6 \tan (x) = - 4.1$

단계 14

$1.6 \tan (x) = - 4.1$ 의 각 항을 $1.6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$1.6 \tan (x) = - 4.1$ 의 각 항을 $1.6$ 로 나눕니다.

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

단계 14.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$1.6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

단계 14.2.1.2

$\tan (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = \frac{- 4.1}{1.6}$

단계 14.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$- 4.1$ 을 $1.6$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = - 2.5625$

단계 15

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (- 2.5625)$

단계 16

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$\arctan (- 2.5625)$ 의 값을 구합니다.

$x = - 1.19872856$

단계 17

탄젠트 함수는 제2사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 제3사분면에 속한 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 뺍니다.

$x = - 1.19872856 - (3.14159265)$

단계 18

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

$- 1.19872856 - (3.14159265)$ 에 $2 π$ 를 더합니다.

$x = - 1.19872856 - (3.14159265) + 2 π$

단계 18.2

결과 각인 $1.94286408$ 은 양의 값을 가지며 $- 1.19872856 - (3.14159265)$ 과 양변을 공유하는 관계입니다

$x = 1.94286408$

단계 19

방정식 $x = - 1.19872856$ 의 해.

$x = - 1.19872856, 1.94286408$

단계 20

$x = - 1.19872856$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 4.1 \sin (- 1.19872856) + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

단계 21

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1.1

$- 4.1$ 에 $\sin (- 1.19872856)$ 을 곱합니다.

$3.81946823 + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

단계 21.1.2

$1.6$ 에 $\cos (- 1.19872856)$ 을 곱합니다.

$3.81946823 + 0.58166797$

단계 21.2

$3.81946823$ 를 $0.58166797$ 에 더합니다.

$4.40113621$

단계 22

이계도함수가 양수이므로 $x = - 1.19872856$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 1.19872856$ 은 극소값입니다.

단계 23

$x = - 1.19872856$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.19872856$ 을 대입합니다.

$f (- 1.19872856) = 4.1 \sin (- 1.19872856) - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

단계 23.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.1.1

$4.1$ 에 $\sin (- 1.19872856)$ 을 곱합니다.

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

단계 23.2.1.2

$- 1.6$ 에 $\cos (- 1.19872856)$ 을 곱합니다.

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 0.58166797$

단계 23.2.2

$- 3.81946823$ 에서 $0.58166797$ 을 뺍니다.

$f (- 1.19872856) = - 4.40113621$

단계 23.2.3

최종 답은 $- 4.40113621$ 입니다.

$y = - 4.40113621$

단계 24

$x = 1.94286408$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 4.1 \sin (1.94286408) + 1.6 \cos (1.94286408)$

단계 25

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.1.1

$- 4.1$ 에 $\sin (1.94286408)$ 을 곱합니다.

$- 3.81946823 + 1.6 \cos (1.94286408)$

단계 25.1.2

$1.6$ 에 $\cos (1.94286408)$ 을 곱합니다.

$- 3.81946823 - 0.58166797$

단계 25.2

$- 3.81946823$ 에서 $0.58166797$ 을 뺍니다.

$- 4.40113621$

단계 26

이계도함수가 음수이므로 $x = 1.94286408$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1.94286408$ 은 극대값입니다

단계 27

$x = 1.94286408$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.94286408$ 을 대입합니다.

$f (1.94286408) = 4.1 \sin (1.94286408) - 1.6 \cos (1.94286408)$

단계 27.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.1.1

$4.1$ 에 $\sin (1.94286408)$ 을 곱합니다.

$f (1.94286408) = 3.81946823 - 1.6 \cos (1.94286408)$

단계 27.2.1.2

$- 1.6$ 에 $\cos (1.94286408)$ 을 곱합니다.

$f (1.94286408) = 3.81946823 + 0.58166797$

단계 27.2.2

$3.81946823$ 를 $0.58166797$ 에 더합니다.

$f (1.94286408) = 4.40113621$

단계 27.2.3

최종 답은 $4.40113621$ 입니다.

$y = 4.40113621$

단계 28

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(- 1.19872856, - 4.40113621)$ 은 극솟값임

$(1.94286408, 4.40113621)$ 은 극댓값임

단계 29