미적분 예제

$f (x) = 32 x^{0.25}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $32 x^{0.25}$ 의 미분은 $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ 입니다.

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

단계 1.2

$n = 0.25$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

단계 1.3

$0.25$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$8 x^{- 0.75}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

단계 1.4.2

$8$ 와 $\frac{1}{x^{0.75}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{x^{0.75}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{8}{x^{0.75}}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{0.75}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{0.75}})$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{0.75}}$ 을 ${(x^{0.75})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{0.75})}^{- 1})$

단계 2.2.2

${(x^{0.75})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{0.75 \cdot - 1})$

단계 2.2.2.2

$0.75$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{- 0.75})$

단계 2.3

$n = - 0.75$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (- 0.75 x^{- 1.75})$

단계 2.4

$- 0.75$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x^{- 1.75}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{1.75}}$

단계 2.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$- 6$ 와 $\frac{1}{x^{1.75}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{1.75}}$

단계 2.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{1.75}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $32 x^{0.25}$ 의 미분은 $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ 입니다.

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

단계 4.1.2

$n = 0.25$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

단계 4.1.3

$0.25$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$8 x^{- 0.75}$

단계 4.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

단계 4.1.4.2

$8$ 와 $\frac{1}{x^{0.75}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{8}{x^{0.75}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{8}{x^{0.75}}$ 입니다.

$\frac{8}{x^{0.75}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{8}{x^{0.75}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$8 = 0$

단계 5.3

$8 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$0.75$ 을(를) 분수로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

소수점을 제거하려면 $\frac{100}{100}$ 을(를) 곱합니다.

$\frac{8}{x^{\frac{100 \cdot 0.75}{100}}}$

단계 6.1.1.2

$100$ 에 $0.75$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{x^{\frac{75}{100}}}$

단계 6.1.1.3

$75$ 및 $100$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.1

$75$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8}{x^{\frac{25 (3)}{100}}}$

단계 6.1.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1

$100$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

단계 6.1.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

단계 6.1.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8}{x^{\frac{3}{4}}}$

단계 6.1.2

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

단계 6.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

단계 6.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 $4$ 승합니다.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

단계 6.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{x^{3}}$ 을(를) $x^{\frac{3}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

단계 6.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

단계 6.3.2.2.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

단계 6.3.2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{3} = 0^{4}$

단계 6.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x^{3} = 0$

단계 6.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 6.3.3.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 6.3.3.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 6.4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sqrt[4]{x^{3}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 작게 설정해야 합니다.

$x^{3} < 0$

단계 6.5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 부등식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

단계 6.5.2

방정식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x < \sqrt[3]{0}$

단계 6.5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.2.1.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 6.5.2.2.1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x < 0$

단계 6.6

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{6}{{(0)}^{1.75}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{6}{0}$

단계 9.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 10

1차 도함수 판정에 실패했으므로 극값이 없습니다.

극값 없음

단계 11