미적분 예제

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \cos (x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

단계 1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

단계 1.2.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos^{3} (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ 입니다.

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

단계 1.3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

단계 1.3.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

단계 1.3.5

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

단계 1.4.2

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ 에서 $3 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.4.2.1

$3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ 에서 $3 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

단계 1.4.2.2

$- 3 \sin (x)$ 에서 $3 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

단계 1.4.2.3

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ 에서 $3 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

단계 1.4.3

$\cos^{2} (x)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

단계 1.4.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

단계 1.4.5

$\cos^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

단계 1.4.6

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

단계 1.4.7

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 을 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

단계 1.4.8

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

단계 1.4.9

지수를 더하여 $\sin (x)$ 에 $\sin^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.9.1

$\sin^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

단계 1.4.9.2

$\sin^{2} (x)$ 에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.9.2.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

단계 1.4.9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

단계 1.4.9.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

단계 1.4.10

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 \sin^{3} (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 \sin^{3} (x)$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

단계 2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

단계 2.3

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

단계 2.4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

단계 4

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

단계 4.2.1.2

$\sin^{3} (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$0$ 을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\sin^{3} (x) = 0$

단계 5

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

단계 6

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 6.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$\sin (x) = 0$

단계 7

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 8

우변을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 9

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 10

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 11

방정식 $x = 0$ 의 해.

$x = 0, π$

단계 12

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

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단계 13.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

단계 13.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

단계 13.3

$- 9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \cos (0)$

단계 13.4

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 \cdot 1$

단계 13.5

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0$

단계 14

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 14.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

단계 14.2

1차 도함수 $- 3 \sin^{3} (x)$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 14.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

단계 14.2.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 14.2.2.1

$\sin (- 2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

단계 14.2.2.2

$- 0.90929742$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

단계 14.2.2.3

$- 3$ 에 $- 0.75182694$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 2.25548083$

단계 14.2.2.4

최종 답은 $2.25548083$ 입니다.

$2.25548083$

단계 14.3

1차 도함수 $- 3 \sin^{3} (x)$ 의 $(0, π)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 14.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

단계 14.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.1

$\sin (2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

단계 14.3.2.2

$0.90929742$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

단계 14.3.2.3

$- 3$ 에 $0.75182694$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - 2.25548083$

단계 14.3.2.4

최종 답은 $- 2.25548083$ 입니다.

$- 2.25548083$

단계 14.4

1차 도함수 $- 3 \sin^{3} (x)$ 의 $(π, \infty)$ 구간에서 $6$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 14.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

단계 14.4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 14.4.2.1

$\sin (6)$ 의 값을 구합니다.

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

단계 14.4.2.2

$- 0.27941549$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

단계 14.4.2.3

$- 3$ 에 $- 0.02181481$ 을 곱합니다.

$f' (6) = 0.06544443$

단계 14.4.2.4

최종 답은 $0.06544443$ 입니다.

$0.06544443$

단계 14.5

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 0$ 은 극댓값입니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 14.6

1차 도함수의 부호가 $x = π$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = π$ 은 극솟값입니다.

$x = π$ 은 극소값입니다.

단계 14.7

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ 에 대한 극값입니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

$x = π$ 은 극소값입니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

$x = π$ 은 극소값입니다.

단계 15