미적분 예제

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 1.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

단계 1.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$2 \cos (x)$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

단계 1.4.2.2

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

단계 1.4.2.3

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

단계 2.2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

단계 2.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

단계 2.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

단계 2.2.5

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \sin (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

단계 2.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

단계 4

사인 배각 공식을 적용합니다.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

단계 5

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ 에서 $2 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 2 \sin (x)$ 에서 $2 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

단계 5.2

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ 에서 $2 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

단계 6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

단계 7

$\sin (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\sin (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) = 0$

단계 7.2

$\sin (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.2.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 7.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 7.2.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 7.2.4

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 7.2.5

방정식 $x = 0$ 의 해.

$x = 0, π$

단계 8

$\cos (x) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\cos (x) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) - 1 = 0$

단계 8.2

$\cos (x) - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$\cos (x) = 1$

단계 8.2.2

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (1)$

단계 8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

$\arccos (1)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 8.2.4

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - 0$

단계 8.2.5

$2 π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = 2 π$

단계 8.2.6

방정식 $x = 0$ 의 해.

$x = 0, 2 π$

단계 9

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, π, 2 π$

단계 10

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

단계 11

이차 미분값을 구합니다.

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단계 11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

단계 11.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

단계 11.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 2 \cos (0)$

단계 11.1.4

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 - 2 \cdot 1$

단계 11.1.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 2$

단계 11.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$0$

단계 12

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 12.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

단계 12.2

1차 도함수 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

단계 12.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.1.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

단계 12.2.2.1.2

$\sin (- 4)$ 의 값을 구합니다.

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

단계 12.2.2.1.3

$\sin (- 2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

단계 12.2.2.1.4

$- 2$ 에 $- 0.90929742$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

단계 12.2.2.2

$0.75680249$ 를 $1.81859485$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = 2.57539734$

단계 12.2.2.3

최종 답은 $2.57539734$ 입니다.

$2.57539734$

단계 12.3

1차 도함수 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 의 $(0, π)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

단계 12.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

단계 12.3.2.1.2

$\sin (4)$ 의 값을 구합니다.

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

단계 12.3.2.1.3

$\sin (2)$ 의 값을 구합니다.

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

단계 12.3.2.1.4

$- 2$ 에 $0.90929742$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

단계 12.3.2.2

$- 0.75680249$ 에서 $1.81859485$ 을 뺍니다.

$f' (2) = - 2.57539734$

단계 12.3.2.3

최종 답은 $- 2.57539734$ 입니다.

$- 2.57539734$

단계 12.4

1차 도함수 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 의 $(π, 2 π)$ 구간에서 $5$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

단계 12.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.2.1.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

단계 12.4.2.1.2

$\sin (10)$ 의 값을 구합니다.

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

단계 12.4.2.1.3

$\sin (5)$ 의 값을 구합니다.

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

단계 12.4.2.1.4

$- 2$ 에 $- 0.95892427$ 을 곱합니다.

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

단계 12.4.2.2

$- 0.54402111$ 를 $1.91784854$ 에 더합니다.

$f' (5) = 1.37382743$

단계 12.4.2.3

최종 답은 $1.37382743$ 입니다.

$1.37382743$

단계 12.5

1차 도함수 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 의 $(2 π, \infty)$ 구간에서 $9$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $9$ 을 대입합니다.

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

단계 12.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.1.1

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

단계 12.5.2.1.2

$\sin (18)$ 의 값을 구합니다.

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

단계 12.5.2.1.3

$\sin (9)$ 의 값을 구합니다.

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

단계 12.5.2.1.4

$- 2$ 에 $0.41211848$ 을 곱합니다.

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

단계 12.5.2.2

$- 0.75098724$ 에서 $0.82423697$ 을 뺍니다.

$f' (9) = - 1.57522421$

단계 12.5.2.3

최종 답은 $- 1.57522421$ 입니다.

$- 1.57522421$

단계 12.6

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 0$ 은 극댓값입니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 12.7

1차 도함수의 부호가 $x = π$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = π$ 은 극솟값입니다.

$x = π$ 은 극소값입니다.

단계 12.8

1차 도함수의 부호가 $x = 2 π$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 2 π$ 은 극댓값입니다.

$x = 2 π$ 은 극대값입니다

단계 12.9

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ 에 대한 극값입니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

$x = π$ 은 극소값입니다.

$x = 2 π$ 은 극대값입니다

$x = 0$ 은 극대값입니다

$x = π$ 은 극소값입니다.

$x = 2 π$ 은 극대값입니다

단계 13