미적분 예제

$f (x) = 2 \sec (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sec (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 1.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$2 \sec (x) \tan (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sec (x) \tan (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x))$

단계 2.2

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 2.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 2.4

지수를 더하여 $\sec (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.1

$\sec (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 2.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 2 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 2.4.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 2.5

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

단계 2.6

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

단계 2.7

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

단계 2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

단계 2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

단계 2.10

간단히 합니다.

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단계 2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 2 \sec^{3} (x) + 2 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

단계 2.10.2

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 2 \tan^{2} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$2 \sec (x) \tan (x) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

단계 5

$\sec (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$\sec (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sec (x) = 0$

단계 5.2

시컨트의 범위는 $y \leq - 1$ 과 $y \geq 1$ 입니다. $0$ 이 이 영역에 속하지 않으므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 6

$\tan (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$\tan (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\tan (x) = 0$

단계 6.2

$\tan (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (0)$

단계 6.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1

$\arctan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 6.2.3

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + 0$

단계 6.2.4

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x = π$

단계 6.2.5

방정식 $x = 0$ 의 해.

$x = 0, π$

단계 7

$2 \sec (x) \tan (x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, π$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 \tan^{2} (0) \sec (0) + 2 \sec^{3} (0)$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$2 \cdot 0^{2} \sec (0) + 2 \sec^{3} (0)$

단계 9.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$2 \cdot 0 \sec (0) + 2 \sec^{3} (0)$

단계 9.1.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \sec (0) + 2 \sec^{3} (0)$

단계 9.1.4

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 \cdot 1 + 2 \sec^{3} (0)$

단계 9.1.5

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 2 \sec^{3} (0)$

단계 9.1.6

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + 2 \cdot 1^{3}$

단계 9.1.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$0 + 2 \cdot 1$

단계 9.1.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 2$

단계 9.2

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 2 \sec (0)$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (0) = 2 \cdot 1$

단계 11.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (0) = 2$

단계 11.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$y = 2$

단계 12

$x = π$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 \tan^{2} (π) \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

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단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$2 {(- \tan (0))}^{2} \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

단계 13.1.2

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$2 {(- 0)}^{2} \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

단계 13.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \cdot 0^{2} \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

단계 13.1.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$2 \cdot 0 \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

단계 13.1.5

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \sec (π) + 2 \sec^{3} (π)$

단계 13.1.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$0 (- \sec (0)) + 2 \sec^{3} (π)$

단계 13.1.7

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 (- 1 \cdot 1) + 2 \sec^{3} (π)$

단계 13.1.8

$0 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.8.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 \cdot - 1 + 2 \sec^{3} (π)$

단계 13.1.8.2

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 2 \sec^{3} (π)$

단계 13.1.9

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$0 + 2 {(- \sec (0))}^{3}$

단계 13.1.10

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

단계 13.1.11

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 2 {(- 1)}^{3}$

단계 13.1.12

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$0 + 2 \cdot - 1$

단계 13.1.13

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2$

단계 13.2

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 2$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = π$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = π$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = π$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $π$ 을 대입합니다.

$f (π) = 2 \sec (π)$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (π) = 2 (- \sec (0))$

단계 15.2.2

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1)$

단계 15.2.3

$2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (π) = 2 \cdot - 1$

단계 15.2.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (π) = - 2$

단계 15.2.4

최종 답은 $- 2$ 입니다.

$y = - 2$

단계 16

$f (x) = 2 \sec (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 2)$ 은 극솟값임

$(π, - 2)$ 은 극댓값임

단계 17