미적분 예제

$f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x^{3}$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

단계 1.3.2

$3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

단계 1.3.3

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ 입니다.

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

단계 1.3.4

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = 24 - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 1.3.5

합의 법칙에 의해 $24 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 1.3.6

$24$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $24$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $24$ 입니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 1.3.7

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 1.3.9

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

단계 1.3.10

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

단계 1.3.11

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

단계 1.3.12

$x^{7}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

단계 1.3.13

$24 - 3 x$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

단계 1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

단계 1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

단계 1.4.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.1

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

단계 1.4.4.2

$7$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

단계 1.4.4.3

$168$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

단계 1.4.4.4

$- 3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

단계 1.4.4.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.5.1

$x^{6}$ 를 옮깁니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

단계 1.4.4.5.2

$x^{6}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

단계 1.4.4.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

단계 1.4.4.5.3

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

단계 1.4.4.6

$- 21$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

단계 1.4.4.7

$9 x^{7}$ 를 $63 x^{7}$ 에 더합니다.

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

단계 1.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [72 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 504 x^{6}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (72 x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [72 x^{7}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$72$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $72 x^{7}$ 의 미분은 $72 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 입니다.

$f'' (x) = 72 \frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

단계 2.2.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 72 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

단계 2.2.3

$7$ 에 $72$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 504 x^{6} + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 504 x^{6}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 504$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 504 x^{6}$ 의 미분은 $- 504 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 입니다.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

단계 2.3.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

단계 2.3.3

$6$ 에 $- 504$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$72$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $72 x^{2}$ 의 미분은 $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 (2 x)$

단계 2.4.3

$2$ 에 $72$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 144 x$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x^{3}$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

단계 4.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

단계 4.1.2.3

$3$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

단계 4.1.3.2

$3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

단계 4.1.3.3

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ 입니다.

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

단계 4.1.3.4

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 4.1.3.5

합의 법칙에 의해 $24 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 4.1.3.6

$24$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $24$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $24$ 입니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 4.1.3.7

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 4.1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

단계 4.1.3.9

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

단계 4.1.3.10

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

단계 4.1.3.11

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

단계 4.1.3.12

$x^{7}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

단계 4.1.3.13

$24 - 3 x$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

단계 4.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

단계 4.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

단계 4.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

단계 4.1.4.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.4.1

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

단계 4.1.4.4.2

$7$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

단계 4.1.4.4.3

$168$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

단계 4.1.4.4.4

$- 3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

단계 4.1.4.4.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.4.5.1

$x^{6}$ 를 옮깁니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

단계 4.1.4.4.5.2

$x^{6}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.4.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

단계 4.1.4.4.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

단계 4.1.4.4.5.3

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

단계 4.1.4.4.6

$- 21$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

단계 4.1.4.4.7

$9 x^{7}$ 를 $63 x^{7}$ 에 더합니다.

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

단계 4.1.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ 입니다.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

단계 5.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x \approx - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

단계 8

$x = - 0.60223321$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$504 {(- 0.60223321)}^{6} - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$- 0.60223321$ 를 $6$ 승 합니다.

$504 \cdot 0.04770767 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

단계 9.1.2

$504$ 에 $0.04770767$ 을 곱합니다.

$24.04466629 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

단계 9.1.3

$- 0.60223321$ 를 $5$ 승 합니다.

$24.04466629 - 3024 \cdot - 0.07921793 + 144 (- 0.60223321)$

단계 9.1.4

$- 3024$ 에 $- 0.07921793$ 을 곱합니다.

$24.04466629 + 239.55503398 + 144 (- 0.60223321)$

단계 9.1.5

$144$ 에 $- 0.60223321$ 을 곱합니다.

$24.04466629 + 239.55503398 - 86.72158264$

단계 9.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$24.04466629$ 를 $239.55503398$ 에 더합니다.

$263.59970027 - 86.72158264$

단계 9.2.2

$263.59970027$ 에서 $86.72158264$ 을 뺍니다.

$176.87811762$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = - 0.60223321$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 0.60223321$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = - 0.60223321$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.60223321$ 을 대입합니다.

$f (- 0.60223321) = 24 {(- 0.60223321)}^{3} - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$- 0.60223321$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 0.60223321) = 24 \cdot - 0.21842085 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

단계 11.2.1.2

$24$ 에 $- 0.21842085$ 을 곱합니다.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

단계 11.2.1.3

지수를 더하여 ${(- 0.60223321)}^{4}$ 에 ${(- 0.60223321)}^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.3.1

${(- 0.60223321)}^{3}$ 를 옮깁니다.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 ({(- 0.60223321)}^{3} {(- 0.60223321)}^{4}) \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

단계 11.2.1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{3 + 4} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

단계 11.2.1.3.3

$3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{7} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

단계 11.2.1.4

$- 0.60223321$ 를 $7$ 승 합니다.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 \cdot - 0.02873114 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

단계 11.2.1.5

$- 3$ 에 $- 0.02873114$ 을 곱합니다.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

단계 11.2.1.6

$- 3$ 에 $- 0.60223321$ 을 곱합니다.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 + 1.80669963)$

단계 11.2.1.7

$24$ 를 $1.80669963$ 에 더합니다.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot 25.80669963$

단계 11.2.1.8

$0.08619343$ 에 $25.80669963$ 을 곱합니다.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 2.22436801$

단계 11.2.2

$- 5.24210059$ 를 $2.22436801$ 에 더합니다.

$f (- 0.60223321) = - 3.01773257$

단계 11.2.3

최종 답은 $- 3.01773257$ 입니다.

$y = - 3.01773257$

단계 12

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$504 {(0)}^{6} - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$504 \cdot 0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

단계 13.1.2

$504$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

단계 13.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 3024 \cdot 0 + 144 (0)$

단계 13.1.4

$- 3024$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 144 (0)$

단계 13.1.5

$144$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0$

단계 13.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 0$

단계 13.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 14

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 0.60223321) \cup (- 0.60223321, 0) \cup (0, 0.62944187) \cup (0.62944187, 6.9995834) \cup (6.9995834, \infty)$

단계 14.2

1차 도함수 $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ 의 $(- \infty, - 0.60223321)$ 구간에서 $- 3$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f' (- 3) = 72 {(- 3)}^{7} - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

단계 14.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.1.1

$- 3$ 를 $7$ 승 합니다.

$f' (- 3) = 72 \cdot - 2187 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

단계 14.2.2.1.2

$72$ 에 $- 2187$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = - 157464 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

단계 14.2.2.1.3

$- 3$ 를 $6$ 승 합니다.

$f' (- 3) = - 157464 - 504 \cdot 729 + 72 {(- 3)}^{2}$

단계 14.2.2.1.4

$- 504$ 에 $729$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 {(- 3)}^{2}$

단계 14.2.2.1.5

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 \cdot 9$

단계 14.2.2.1.6

$72$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 648$

단계 14.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.2.1

$- 157464$ 에서 $367416$ 을 뺍니다.

$f' (- 3) = - 524880 + 648$

단계 14.2.2.2.2

$- 524880$ 를 $648$ 에 더합니다.

$f' (- 3) = - 524232$

단계 14.2.2.3

최종 답은 $- 524232$ 입니다.

$- 524232$

단계 14.3

1차 도함수 $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ 의 $(- 0.60223321, 0)$ 구간에서 $- 0.3$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.3$ 을 대입합니다.

$f' (- 0.3) = 72 {(- 0.3)}^{7} - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

단계 14.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.1.1

$- 0.3$ 를 $7$ 승 합니다.

$f' (- 0.3) = 72 \cdot - 0.0002187 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

단계 14.3.2.1.2

$72$ 에 $- 0.0002187$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

단계 14.3.2.1.3

$- 0.3$ 를 $6$ 승 합니다.

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 \cdot 0.000729 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

단계 14.3.2.1.4

$- 504$ 에 $0.000729$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

단계 14.3.2.1.5

$- 0.3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 \cdot 0.09$

단계 14.3.2.1.6

$72$ 에 $0.09$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 6.48$

단계 14.3.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.2.1

$- 0.0157464$ 에서 $0.367416$ 을 뺍니다.

$f' (- 0.3) = - 0.3831624 + 6.48$

단계 14.3.2.2.2

$- 0.3831624$ 를 $6.48$ 에 더합니다.

$f' (- 0.3) = 6.0968376$

단계 14.3.2.3

최종 답은 $6.0968376$ 입니다.

$6.0968376$

단계 14.4

1차 도함수 $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ 의 $(0, 0.62944187)$ 구간에서 $0.31$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.31$ 을 대입합니다.

$f' (0.31) = 72 {(0.31)}^{7} - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

단계 14.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.2.1.1

$0.31$ 를 $7$ 승 합니다.

$f' (0.31) = 72 \cdot 0.00027512 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

단계 14.4.2.1.2

$72$ 에 $0.00027512$ 을 곱합니다.

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

단계 14.4.2.1.3

$0.31$ 를 $6$ 승 합니다.

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 \cdot 0.0008875 + 72 {(0.31)}^{2}$

단계 14.4.2.1.4

$- 504$ 에 $0.0008875$ 을 곱합니다.

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 {(0.31)}^{2}$

단계 14.4.2.1.5

$0.31$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 \cdot 0.0961$

단계 14.4.2.1.6

$72$ 에 $0.0961$ 을 곱합니다.

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 6.9192$

단계 14.4.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.2.2.1

$0.01980908$ 에서 $0.44730185$ 을 뺍니다.

$f' (0.31) = - 0.42749277 + 6.9192$

단계 14.4.2.2.2

$- 0.42749277$ 를 $6.9192$ 에 더합니다.

$f' (0.31) = 6.49170722$

단계 14.4.2.3

최종 답은 $6.49170722$ 입니다.

$6.49170722$

단계 14.5

1차 도함수 $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ 의 $(0.62944187, 6.9995834)$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = 72 {(4)}^{7} - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

단계 14.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.2.1.1

$4$ 를 $7$ 승 합니다.

$f' (4) = 72 \cdot 16384 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

단계 14.5.2.1.2

$72$ 에 $16384$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 1179648 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

단계 14.5.2.1.3

$4$ 를 $6$ 승 합니다.

$f' (4) = 1179648 - 504 \cdot 4096 + 72 {(4)}^{2}$

단계 14.5.2.1.4

$- 504$ 에 $4096$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 {(4)}^{2}$

단계 14.5.2.1.5

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 \cdot 16$

단계 14.5.2.1.6

$72$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 1152$

단계 14.5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.2.2.1

$1179648$ 에서 $2064384$ 을 뺍니다.

$f' (4) = - 884736 + 1152$

단계 14.5.2.2.2

$- 884736$ 를 $1152$ 에 더합니다.

$f' (4) = - 883584$

단계 14.5.2.3

최종 답은 $- 883584$ 입니다.

$- 883584$

단계 14.6

1차 도함수 $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ 의 $(6.9995834, \infty)$ 구간에서 $9$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $9$ 을 대입합니다.

$f' (9) = 72 {(9)}^{7} - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

단계 14.6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.2.1.1

$9$ 를 $7$ 승 합니다.

$f' (9) = 72 \cdot 4782969 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

단계 14.6.2.1.2

$72$ 에 $4782969$ 을 곱합니다.

$f' (9) = 344373768 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

단계 14.6.2.1.3

$9$ 를 $6$ 승 합니다.

$f' (9) = 344373768 - 504 \cdot 531441 + 72 {(9)}^{2}$

단계 14.6.2.1.4

$- 504$ 에 $531441$ 을 곱합니다.

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 {(9)}^{2}$

단계 14.6.2.1.5

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 \cdot 81$

단계 14.6.2.1.6

$72$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 5832$

단계 14.6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.2.2.1

$344373768$ 에서 $267846264$ 을 뺍니다.

$f' (9) = 76527504 + 5832$

단계 14.6.2.2.2

$76527504$ 를 $5832$ 에 더합니다.

$f' (9) = 76533336$

단계 14.6.2.3

최종 답은 $76533336$ 입니다.

$76533336$

단계 14.7

1차 도함수의 부호가 $x = - 0.60223321$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = - 0.60223321$ 은 극솟값입니다.

$x = - 0.60223321$ 은 극소값입니다.

단계 14.8

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 14.9

1차 도함수의 부호가 $x = 0.62944187$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 0.62944187$ 은 극댓값입니다.

$x = 0.62944187$ 은 극대값입니다

단계 14.10

1차 도함수의 부호가 $x = 6.9995834$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 6.9995834$ 은 극솟값입니다.

$x = 6.9995834$ 은 극소값입니다.

단계 14.11

$f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ 에 대한 극값입니다.

$x = - 0.60223321$ 은 극소값입니다.

$x = 0.62944187$ 은 극대값입니다

$x = 6.9995834$ 은 극소값입니다.

$x = - 0.60223321$ 은 극소값입니다.

$x = 0.62944187$ 은 극대값입니다

$x = 6.9995834$ 은 극소값입니다.

단계 15