미적분 예제

$lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 81}{t^{3} - 27}$

단계 1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{t^{3} - 27}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{t^{3} - 27} lim_{x \to 3} x^{4} - 81$

단계 1.2

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{t^{3} - 27} (lim_{x \to 3} x^{4} - lim_{x \to 3} 81)$

단계 1.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{4}$ 의 지수 $4$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{t^{3} - 27} ({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - lim_{x \to 3} 81)$

단계 1.4

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $81$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{t^{3} - 27} ({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 81)$

단계 2

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{t^{3} - 27} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

단계 3

답을 간단히 합니다.

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단계 3.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$27$ 을 $3^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{t^{3} - 3^{3}} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

단계 3.1.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = t$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + t \cdot 3 + 3^{2})} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

단계 3.1.3

간단히 합니다.

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단계 3.1.3.1

$t$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 \cdot t + 3^{2})} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

단계 3.1.3.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (81 - 1 \cdot 81)$

단계 3.2.2

$- 1$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (81 - 81)$

단계 3.3

$81$ 에서 $81$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} \cdot 0$

단계 3.4

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$