미적분 예제

$lim_{x \to 8} \frac{e^{2 x} - 1}{\sin (3 x)}$

단계 1

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 8} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

단계 2

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 8} e^{2 x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

단계 3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

단계 4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

단계 5

$x$ 가 $8$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

단계 6

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{\sin (lim_{x \to 8} 3 x)}$

단계 7

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{\sin (3 lim_{x \to 8} x)}$

단계 8

$x$ 가 있는 모든 곳에 $8$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 1}{\sin (3 lim_{x \to 8} x)}$

단계 8.2

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 1}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9

답을 간단히 합니다.

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단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$e^{2 \cdot 8}$ 을 ${(e^{8})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(e^{8})}^{2} - 1 \cdot 1}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(e^{8})}^{2} - 1^{2}}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9.1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = e^{8}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{8} - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9.1.4

간단히 합니다.

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단계 9.1.4.1

$e^{8}$ 을 ${(e^{4})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(e^{8} + 1) ({(e^{4})}^{2} - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9.1.4.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(e^{8} + 1) ({(e^{4})}^{2} - 1^{2})}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9.1.4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = e^{4}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) (e^{4} - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9.1.4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.4.4.1

$e^{4}$ 을 ${(e^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9.1.4.4.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1^{2}))}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9.1.4.4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = e^{2}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)))}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9.1.4.4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.4.4.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})))}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9.1.4.4.4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = e$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)))}{\sin (3 \cdot 8)}$

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

단계 9.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{\sin (24)}$

단계 9.2.2

$\sin (24)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.3

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$\frac{({2.71828182}^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.4

$2.71828182$ 를 $8$ 승 합니다.

$\frac{(2980.95798704 + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.5

$2980.95798704$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2981.95798704 (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.6

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$\frac{2981.95798704 ({2.71828182}^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.7

$2.71828182$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{2981.95798704 (54.59815003 + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.8

$54.59815003$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2981.95798704 \cdot 55.59815003 (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.9

$2981.95798704$ 에 $55.59815003$ 을 곱합니다.

$\frac{165791.34755607 (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.10

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$\frac{165791.34755607 ({2.71828182}^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.11

$2.71828182$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{165791.34755607 (7.38905609 + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.12

$7.38905609$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{165791.34755607 \cdot 8.38905609 (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.13

$165791.34755607$ 에 $8.38905609$ 을 곱합니다.

$\frac{1390832.91536521 (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.14

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$\frac{1390832.91536521 (2.71828182 + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.15

$2.71828182$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1390832.91536521 \cdot 3.71828182 (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.16

$1390832.91536521$ 에 $3.71828182$ 을 곱합니다.

$\frac{5171508.75562519 (e - 1)}{0.40673664}$

단계 9.17

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$\frac{5171508.75562519 (2.71828182 - 1)}{0.40673664}$

단계 9.18

$2.71828182$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{5171508.75562519 \cdot 1.71828182}{0.40673664}$

단계 9.19

$5171508.75562519$ 에 $1.71828182$ 을 곱합니다.

$\frac{8886109.52050758}{0.40673664}$

단계 9.20

$8886109.52050758$ 을 $0.40673664$ 로 나눕니다.

$21847329.64630275$