미적분 예제

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2} - 16}{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 1

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 2

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 3

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 5

$x$ 가 $8$ 에 가까워질 때 상수값 $16$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 6

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 7

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 8

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 9

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{4}$ 의 지수 $4$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 10

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 8} x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 11

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

단계 12

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 16}}$

단계 13

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

단계 14

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{4}$ 의 지수 $4$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

단계 15

$x$ 가 $8$ 에 가까워질 때 상수값 $16$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

단계 16

$x$ 가 있는 모든 곳에 $8$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

단계 16.2

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

단계 16.3

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

단계 16.4

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{4 \cdot 64 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17.1.2

$4$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$\frac{256 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17.1.3

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{256 - 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17.1.4

$256$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\frac{240}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

$8$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17.2.2

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 64} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17.2.3

$4$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 256} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17.2.4

$4096$ 를 $256$ 에 더합니다.

$\frac{240}{\sqrt{4352} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17.2.5

$4352$ 을 $16^{2} \cdot 17$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.5.1

$4352$ 에서 $256$ 를 인수분해합니다.

$\frac{240}{\sqrt{256 (17)} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17.2.5.2

$256$ 을 $16^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{240}{\sqrt{16^{2} \cdot 17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17.2.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

단계 17.2.7

$8$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4096 + 16}}$

단계 17.2.8

$4096$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4112}}$

단계 17.2.9

$4112$ 을 $4^{2} \cdot 257$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.9.1

$4112$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{16 (257)}}$

단계 17.2.9.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} \cdot 257}}$

단계 17.2.10

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - (4 \sqrt{257})}$

단계 17.2.11

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

단계 17.3

$240$ 및 $16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.3.1

$240$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (60)}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

단계 17.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.3.2.1

$16 \sqrt{17}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) - 4 \sqrt{257}}$

단계 17.3.2.2

$- 4 \sqrt{257}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})}$

단계 17.3.2.3

$4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

단계 17.3.2.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 60}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

단계 17.3.2.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$

단계 17.4

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ 에 $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ 을 곱합니다.

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}} \cdot \frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$

단계 17.5

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ 에 $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ 을 곱합니다.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{(4 \sqrt{17} - \sqrt{257}) (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}$

단계 17.6

FOIL 계산법을 이용하여 분모를 전개합니다.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{16 {\sqrt{17}}^{2} + 4 \sqrt{4369} - 4 \sqrt{4369} - {\sqrt{257}}^{2}}$

단계 17.7

간단히 합니다.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{15}$

단계 17.8

$60$ 및 $15$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.8.1

$60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ 에서 $15$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15}$

단계 17.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.8.2.1

$15$ 에서 $15$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 (1)}$

단계 17.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 \cdot 1}$

단계 17.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{1}$

단계 17.8.2.4

$4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$

단계 17.9

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (4 \sqrt{17}) + 4 \sqrt{257}$

단계 17.10

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

단계 18

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

소수 형태:

$130.09456817 \dots$