미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 1.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\sin (0)}$

단계 1.3.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

단계 4

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to 0} \sec (x)$

단계 5

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\sec (lim_{x \to 0} x)$

단계 6

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\sec (0)$

단계 7

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$1$