미적분 예제

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

단계 1

삼각함수 항등식 적용하기

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단계 1.1

$\tan (3 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

단계 1.2

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

단계 1.3

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

단계 1.4.2

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ 을 $\cot (3 x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $90$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

단계 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

단계 2.3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

단계 3

$x$ 에 $90$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

단계 4

좌극한 값을 살펴 봅니다.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

단계 5

$x$ 이 왼쪽에서 $90$ 에 접근할 때 함수 $\tan (x)$ 의 개형을 보여주는 표를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

단계 6

$x$ 값이 $90$ 에 접근하면서 함수값이 $- 1.995$ 에 접근합니다. 따라서, $x$ 이 $90$ 의 왼쪽에서 접근할 때 $\tan (x)$ 의 극한은 $- 1.995$ 입니다.

$- 1.995$

단계 7

우극한 값을 살펴 봅니다.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

단계 8

$x$ 이 오른쪽에서 $90$ 에 접근할 때 함수 $\tan (x)$ 의 개형을 보여주는 표를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

단계 9

$x$ 값이 $90$ 에 접근하면서 함수값이 $- 1.995$ 에 접근합니다. 따라서, $x$ 이 $90$ 의 오른쪽에서 접근할 때 $\tan (x)$ 의 극한은 $- 1.995$ 입니다.

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

단계 10

답을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$3$ 에 $90$ 을 곱합니다.

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

단계 10.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

단계 10.3

$\cot (90)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 1.995 \cdot 0$

단계 10.4

$- 1.995$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$