미적분 예제

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{π}{x})$

단계 1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

단계 1.2

$π$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\cos (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

단계 1.3

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\cos (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

단계 1.4

$x$ 가 $8$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\cos (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

단계 2

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\cos (π \frac{1}{8})$

단계 3

답을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$π$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\cos (\frac{π}{8})$

단계 3.2

$\cos (\frac{π}{8})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 입니다.

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단계 3.2.1

여섯 개의 삼각함수 값을 알고 있는 각을 $2$ 로 나누어 $\frac{π}{8}$ 를 다시 씁니다.

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

단계 3.2.2

코사인 반각공식 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 을(를) 적용합니다.

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

단계 3.2.3

코사인은 제1사분면에서 양수이므로 $\pm$ 를 $+$ 로 바꿉니다.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

단계 3.2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

단계 3.2.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.5.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

단계 3.2.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

단계 3.2.5.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

단계 3.2.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

단계 3.2.5.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

단계 3.2.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

단계 3.2.5.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.2.5.6.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 3.2.5.6.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

단계 4

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

소수 형태:

$0.92387953 \dots$