미적분 예제

$lim_{x \to 0} (\frac{\tan (2 x)}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x}$

단계 1

항을 묶습니다.

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단계 1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\sin (x)}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

단계 1.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x^{3}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.2.1

$\frac{\sin (x)}{x}$ 에 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x \cdot x^{2}}$

단계 1.2.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.2.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1} x^{2}}$

단계 1.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1 + 2}}$

단계 1.2.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

단계 1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

단계 2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

단계 3

분자는 상수이고 분모는 $x$ 이(가) $0$ 에 근접할 때 $0$ 에 근접하므로 분수 $\frac{1}{x^{2}}$ 은 무한대로 발산합니다.

$\infty + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

단계 4

$\frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}}$ 및 $lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}} = \infty$ 부터 샌드위치 정리를 적용합니다.

$\infty + \infty$

단계 5

무한대 더하기 무한대는 무한대입니다.

$\infty$