미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (5 x)}{x^{2}}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.2

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.4

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.5

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.6.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.7.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.7.3

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.7.4

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.2.7.5

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0^{2}}$

단계 1.1.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (5 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.2

$f (x) = \sin (3 x)$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.3.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.6

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.7

$\sin (3 x) \cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot (\sin (3 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.8

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.8.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.8.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.9

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.11

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.12

$\sin (5 x) \cos (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + 3 \cdot (\sin (5 x) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.13

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.14

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{2 x}$

단계 2

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{x}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.2

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} \cos (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} \cos (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.5

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.6

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.7

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.8

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.9

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.10

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.11

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.12

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.13

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.14

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.14.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.14.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.14.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.14.4

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.15.1.1

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 1 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.1.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.1.4

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot \sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.1.5

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.1.6

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.1.7

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cos (0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.1.8

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.1.9

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.1.10

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.1.11

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.1.12

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.15.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3

$\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \cos (5 x) \sin (3 x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\cos (5 x) \sin (3 x)]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.2

$f (x) = \cos (5 x)$ , $g (x) = \sin (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.3.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.6

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.6.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.7

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.9

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.10

$\cos (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cdot 3 \cdot \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.11

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cdot \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.12

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3.13

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4

$\frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \cos (3 x) \sin (5 x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (5 x)]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.2

$f (x) = \cos (3 x)$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.3.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.3.3

$u_{3}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.6

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.6.2

$\cos (u_{4})$ 를 $u_{4}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{4})$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.6.3

$u_{4}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.7

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.9

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.10

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.11

$\cos (3 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cdot \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.12

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.4.13

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 3 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 3 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.5.3.1

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5.3.2

$- 5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5.3.3

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5.3.4

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5.3.5

$15 \cos (5 x) \cos (3 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5.3.6

$15 \cos (3 x) \cos (5 x)$ 를 $15 \cos (3 x) \cos (5 x)$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5.3.7

$- 9 \sin (5 x) \sin (3 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.5.3.8

$- 25 \sin (3 x) \sin (5 x)$ 에서 $9 \sin (3 x) \sin (5 x)$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)}{1}$

단계 3.4

$30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

단계 4.2

$30$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

단계 4.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} (30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

단계 4.4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

단계 4.5

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

단계 4.6

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

단계 4.7

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

단계 4.8

$34$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x))$

단계 4.9

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

단계 4.10

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

단계 4.11

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

단계 4.12

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x))$

단계 4.13

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

단계 5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

단계 5.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

단계 5.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

단계 5.4

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

단계 6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (30 \cos (0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

단계 6.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} (30 \cdot 1 \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

단계 6.1.3

$30$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (30 \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

단계 6.1.4

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (30 \cdot \cos (0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

단계 6.1.5

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} (30 \cdot 1 - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

단계 6.1.6

$30$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (30 - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

단계 6.1.7

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (30 - 34 \sin (0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

단계 6.1.8

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{2} (30 - 34 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0))$

단계 6.1.9

$- 34$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot \sin (5 \cdot 0))$

단계 6.1.10

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot \sin (0))$

단계 6.1.11

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot 0)$

단계 6.1.12

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (30 + 0)$

단계 6.2

$30$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 30$

단계 6.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$30$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (15))$

단계 6.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 15)$

단계 6.3.3

수식을 다시 씁니다.

$15$