미적분 예제

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\sin (3 x)}{1 - 2 \cos (x)}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

단계 1.1.2.1.2

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (3 \frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (3 \frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

단계 1.1.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

단계 1.1.2.3.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

단계 1.1.2.3.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $\frac{π}{3}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}$

단계 1.1.3.1.2

$x$ 가 $\frac{π}{3}$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}$

단계 1.1.3.1.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{1 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)}$

단계 1.1.3.1.4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{1 - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{1 - 2 \cos (\frac{π}{3})}$

단계 1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{0}{1 - 2 (\frac{1}{2})}$

단계 1.1.3.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{0}{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}$

단계 1.1.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}$

단계 1.1.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{0}{1 - 1}$

단계 1.1.3.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\sin (3 x)}{1 - 2 \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

단계 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

단계 1.3.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

단계 1.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

단계 1.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

단계 1.3.6

$\cos (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

단계 1.3.7

합의 법칙에 의해 $1 - 2 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}$

단계 1.3.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}$

단계 1.3.9

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.9.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \cos (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

단계 1.3.9.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 - 2 (- \sin (x))}$

단계 1.3.9.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 + 2 \sin (x)}$

단계 1.3.10

$0$ 를 $2 \sin (x)$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{2 \sin (x)}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{3}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x)}{\sin (x)}$

단계 2.2

$x$ 가 $\frac{π}{3}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

단계 2.3

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

단계 2.4

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

단계 2.5

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

단계 3.2

$x$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \frac{1}{\sin (\frac{π}{3})})$

단계 4.2

$\cos (3 \frac{π}{3})$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{π}{3})})$

단계 4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$\cos (3 \frac{π}{3})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \frac{1}{\sin (\frac{π}{3})})$

단계 4.3.2

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{3})}$ 을 $\csc (\frac{π}{3})$ 로 변환합니다.

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \csc (\frac{π}{3}))$

단계 4.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \csc (\frac{π}{3}))$

단계 4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{2} (\cos (π) \csc (\frac{π}{3}))$

단계 4.5

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{3}{2} (- \cos (0) \csc (\frac{π}{3}))$

단계 4.6

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{3}{2} (- 1 \cdot 1 \csc (\frac{π}{3}))$

단계 4.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (- \csc (\frac{π}{3}))$

단계 4.8

$\csc (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 입니다.

$\frac{3}{2} (- \frac{2}{\sqrt{3}})$

단계 4.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1

$- \frac{2}{\sqrt{3}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

단계 4.9.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{\sqrt{3}}$

단계 4.9.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{3}}$

단계 4.9.4

수식을 다시 씁니다.

$3 \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

단계 4.10

$3$ 와 $\frac{- 1}{\sqrt{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot - 1}{\sqrt{3}}$

단계 4.11

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3}{\sqrt{3}}$

단계 4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{\sqrt{3}}$

단계 4.13

$\frac{3}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

단계 4.14

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.14.1

$\frac{3}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 4.14.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 4.14.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 4.14.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 4.14.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 4.14.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.14.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.14.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.14.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.14.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.14.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.14.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 4.14.6.5

지수값을 계산합니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

단계 4.15

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.15.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

단계 4.15.2

$\sqrt{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \sqrt{3}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \sqrt{3}$

소수 형태:

$- 1.73205080 \dots$