미적분 예제

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\tan (5 x)}$

단계 1

삼각함수 항등식 적용하기

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단계 1.1

$\tan (5 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

단계 1.2

$\tan (4 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

단계 1.3

$\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ 을 $\tan (4 x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

단계 1.4.2

$\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ 을 $\cot (5 x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cot (5 x)$

단계 2

$x$ 가 $\frac{π}{2}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

단계 3

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

단계 4

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

단계 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x)$

단계 6

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

단계 7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

$x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

단계 7.2

$x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\tan (2 (2) \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

단계 8.1.2

공약수로 약분합니다.

$\tan (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

단계 8.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\tan (2 π) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

단계 8.2

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\tan (0) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

단계 8.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$0 \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

단계 8.4

$5$ 와 $\frac{π}{2}$ 을 묶습니다.

$0 \cdot \cot (\frac{5 π}{2})$

단계 8.5

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$0 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

단계 8.6

$\cot (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$0 \cdot 0$

단계 8.7

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$