미적분 예제

$\frac{x - x^{2}}{2 - 3 x + x^{2}}$

단계 1

$f (x) = x - x^{2}$ , $g (x) = 2 - 3 x + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - (2 x)) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2.6

합의 법칙에 의해 $2 - 3 x + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2.7

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2.8

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 에 더합니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2.9

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2.11

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 2.12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x)$ 를 전개합니다.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + 2 (- 2 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.6

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.7

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} x + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.9

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.9.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.9.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.9.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{1 + 2} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.2.9.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.3

$- 4 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 - 7 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.4

$6 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.5

$- - x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x + 1 x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.5.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x + x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + x^{2}) (- 3 + 2 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x (- 3 + 2 x) + x^{2} (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x \cdot - 3 - x (2 x) + x^{2} (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x \cdot - 3 - x (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.1.1

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - x (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 x \cdot x + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7.1.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 \cdot x^{2} + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{2} x}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7.1.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.1.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2})}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7.1.7.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.1.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2})}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7.1.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{1 + 2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7.1.7.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{3}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.1.7.2

$- 2 x^{2}$ 에서 $3 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 5 x^{2} + 2 x^{3}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.2

$2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 5 x^{2} + 2 x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$- 2 x^{3}$ 를 $2 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2} + 0}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.2.2

$2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.3

$- 7 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{2 + 7 x^{2} - 4 x - 5 x^{2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.4

$7 x^{2}$ 에서 $5 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 + 2 x^{2} - 4 x}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

단계 3.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2 x^{2} - 4 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2}) - 4 x + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

$- 4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.1.4

$2 (x^{2}) + 2 (- 2 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.1.5

$2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 3.4.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

단계 3.4.2.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

단계 3.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x + 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $2$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 2, - 1$

단계 3.5.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 2) (x - 1))}^{2}}$

단계 3.5.2

$(x - 2) (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6

${(x - 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$