미적분 예제

$lim_{x \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

단계 1

$x$ 가 $- 3$ 에 가까워질 때 상수값 $\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$ 의 극한을 구합니다.

$\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

단계 2

답을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{\frac{y^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

단계 2.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ 이고 합이 $b = 7$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.3.1.1

$7 y$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 (y) + 3}}$

단계 2.3.1.2

$7$ 를 $1$ + $6$ 로 다시 씁니다.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}}$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}}$

단계 2.3.1.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + y + 6 y + 3}}$

단계 2.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}}$

단계 2.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}}$

단계 2.3.3

최대공약수 $2 y + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

단계 2.4

공약수를 소거하여 수식 $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

단계 2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$

단계 2.5

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$ 을 $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$

단계 2.6

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ 에 $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$

단계 2.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ 에 $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1} \sqrt{2 y + 1}}$

단계 2.7.2

$\sqrt{2 y + 1}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} \sqrt{2 y + 1}}$

단계 2.7.3

$\sqrt{2 y + 1}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} {\sqrt{2 y + 1}}^{1}}$

단계 2.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1 + 1}}$

단계 2.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{2}}$

단계 2.7.6

${\sqrt{2 y + 1}}^{2}$ 을 $2 y + 1$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 y + 1}$ 을(를) ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{1}}$

단계 2.7.6.5

간단히 합니다.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{2 y + 1}$

단계 2.8

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{\sqrt{(y - 3) (2 y + 1)}}{2 y + 1}$