미적분 예제

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 1

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 9 x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 3

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 5

$9$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 6

$x$ 가 $8$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{lim_{x \to 8} x - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $8$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{8 - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 7.2

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{8 - \sqrt{8^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 7.3

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{8 - \sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{8 - \sqrt{64 + 9 \cdot 8 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 8.1.2

$9$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{8 - \sqrt{64 + 72 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 8.1.3

$64$ 를 $72$ 에 더합니다.

$\frac{8 - \sqrt{136 + 2}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 8.1.4

$136$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 8.2

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ 에 $\frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}} \cdot \frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$

단계 8.3

$\frac{8 - \sqrt{138}}{x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ 에 $\frac{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{(x^{2} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}$

단계 8.4

FOIL 계산법을 이용하여 분모를 전개합니다.

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{x^{4} + x^{2} \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} x^{2} - {\sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}^{2}}$

단계 8.5

간단히 합니다.

$\frac{(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

단계 8.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(8 - \sqrt{138}) (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})$ 를 전개합니다.

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단계 8.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}) - \sqrt{138} (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

단계 8.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} (x^{2} + \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5})}{- 3 x^{2} - 5}$

단계 8.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138} \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5}}{- 3 x^{2} - 5}$

단계 8.7

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{(x^{4} + 3 x^{2} + 5) \cdot 138}}{- 3 x^{2} - 5}$

단계 8.8

$8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{(x^{4} + 3 x^{2} + 5) \cdot 138}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- 3 x^{2} - 5}$

단계 8.9

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2}) - 5}$

단계 8.10

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2}) - 1 (5)}$

단계 8.11

$- (3 x^{2}) - 1 (5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- (3 x^{2} + 5)}$

단계 8.12

$- (3 x^{2} + 5)$ 을 $- 1 (3 x^{2} + 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{- 1 (3 x^{2} + 5)}$

단계 8.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8 x^{2} + 8 \sqrt{x^{4} + 3 x^{2} + 5} - \sqrt{138} x^{2} - \sqrt{138 (x^{4} + 3 x^{2} + 5)}}{3 x^{2} + 5}$