미적분 예제

$lim_{h \to 0} \frac{4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{h}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{h \to 0} 4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{4 + \sqrt{5 - (x + 0)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - (4 + \sqrt{5 - x})}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - 1 \cdot 4 - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 + \sqrt{5 - x} - 4 - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.4

$4 + \sqrt{5 - x} - 4 - \sqrt{5 - x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.1.2.4.1

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + \sqrt{5 - x} - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.4.2

$0$ 를 $\sqrt{5 - x}$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 - x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.4.3

$\sqrt{5 - x}$ 에서 $\sqrt{5 - x}$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $4 + \sqrt{5 - (x + h)} - (4 + \sqrt{5 - x})$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3

$4$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d h} [\sqrt{5 - (x + h)}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5 - (x + h)}$ 을(를) ${(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [{(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.2

$f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ , $g (h) = 5 - (x + h)$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 는 $f' (g (h)) g' (h)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 - (x + h)$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.2.3

$u$ 를 모두 $5 - (x + h)$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [5 - (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.3

합의 법칙에 의해 $5 - (x + h)$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.4

$5$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- (x + h)]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.5

$- 1$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $- (x + h)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d h} [x + h]$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.6

합의 법칙에 의해 $x + h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.7

$x$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.10

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.12

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.4.12.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.12.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.14

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.15

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.16

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2} {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.17

$\frac{1}{2}$ 와 ${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.18

$\frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{{(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.19

${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- 1 \cdot {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.20

$- 1 {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ 을 $- {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- {(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.21

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(5 - (x + h))}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{- 1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- (4 + \sqrt{5 - x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5

$- (4 + \sqrt{5 - x})$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- (4 + \sqrt{5 - x})$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- (4 + \sqrt{5 - x})$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - (x + h))}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6

간단히 합니다.

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단계 1.3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6.2

항을 묶습니다.

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단계 1.3.6.2.1

$0$ 에서 $\frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 뺍니다.

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6.2.2

$- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 {(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 1.5

${(5 - x - h)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{5 - x - h}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}} \cdot 1$

단계 1.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$- 1$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{5 - x - h}}$

단계 2.2

$\frac{1}{2}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{5 - x - h}}$

단계 2.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{5 - x - h}}$

단계 2.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{5 - x - h}}$

단계 2.5

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 5 - x - h}}$

단계 2.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 5 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

단계 2.7

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $5$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h}}$

단계 2.8

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x - lim_{h \to 0} h}}$

단계 2.9

항을 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x + 0}}$

단계 2.9.2

답을 간단히 합니다.

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단계 2.9.2.1

$5 - x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 - x}}$

단계 2.9.2.2

$\frac{1}{\sqrt{5 - x}}$ 에 $\frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{5 - x}} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}})$

단계 2.9.2.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.9.2.3.1

$\frac{1}{\sqrt{5 - x}}$ 에 $\frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{5 - x} \sqrt{5 - x}}$

단계 2.9.2.3.2

$\sqrt{5 - x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1} \sqrt{5 - x}}$

단계 2.9.2.3.3

$\sqrt{5 - x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1} {\sqrt{5 - x}}^{1}}$

단계 2.9.2.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{1 + 1}}$

단계 2.9.2.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{\sqrt{5 - x}}^{2}}$

단계 2.9.2.3.6

${\sqrt{5 - x}}^{2}$ 을 $5 - x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.9.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5 - x}$ 을(를) ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.9.2.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.9.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.9.2.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.9.2.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.9.2.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{{(5 - x)}^{1}}$

단계 2.9.2.3.6.5

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 - x}}{5 - x}$

단계 2.9.2.4

$\frac{\sqrt{5 - x}}{5 - x}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sqrt{5 - x}}{(5 - x) \cdot 2}$

단계 2.9.2.5

$5 - x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{\sqrt{5 - x}}{2 (5 - x)}$