미적분 예제

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k + 1}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

단계 1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1

${(k + 1)}^{k + 1}$ 및 $k + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.1

${(k + 1)}^{k + 1}$ 에서 $k + 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

단계 1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.2.1

$(k + 1) i$ 에서 $k + 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) (i)} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

단계 1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

단계 1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

단계 1.2

$k$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

단계 1.3

$\frac{1}{i}$ 항은 $k$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} {(k + 1)}^{k} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

단계 2

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 2.1

${(k + 1)}^{k}$ 을 $e^{\ln ({(k + 1)}^{k})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{\ln ({(k + 1)}^{k})} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

단계 2.2

$k$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(k + 1)}^{k})$ 을 전개합니다.

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

단계 3.2

$k$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

단계 3.3

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

단계 3.4

$k$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + lim_{k \to 8} 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

단계 3.5

$k$ 가 $8$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

단계 3.6

$i$ 항은 $k$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i lim_{k \to 8} \frac{k}{k^{k}}$

단계 3.7

$k$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} k^{k}}$

단계 4

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$k^{k}$ 을 $e^{\ln (k^{k})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{\ln (k^{k})}}$

단계 4.2

$k$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (k^{k})$ 을 전개합니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{k \ln (k)}}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \ln (k)}}$

단계 5.2

$k$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k)}}$

단계 5.3

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

단계 6

$k$ 가 있는 모든 곳에 $8$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 6.1