미적분 예제

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

단계 1.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

단계 1.1.3

$n$ 이(가) 근에 대해 $\infty$ 에 접근함에 따라 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 는 $n \cdot n^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

단계 1.3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{n}$ 을(를) $n^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{2}}]}$

단계 1.3.4

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 는 $n \cdot n^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1}}$

단계 1.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

단계 1.3.6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

단계 1.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

단계 1.3.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 2}{2}}}$

단계 1.3.8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{- 1}{2}}}$

단계 1.3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{- \frac{1}{2}}}$

단계 1.3.10

간단히 합니다.

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단계 1.3.10.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}$

단계 1.3.10.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 n^{\frac{1}{2}}}}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{n \to \infty} 1 (2 n^{\frac{1}{2}})$

단계 1.5

$n^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{n}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{n \to \infty} 1 (2 \sqrt{n})$

단계 1.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{n \to \infty} 2 \sqrt{n}$

단계 2

$\sqrt{n}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $2$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 2.1

상수 배수 $2$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$

단계 2.2

$n$ 이(가) 근에 대해 $\infty$ 에 접근함에 따라 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\infty$