미적분 예제

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 1

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{\frac{5}{3}}$ 의 지수 $\frac{5}{3}$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{\frac{1}{3}}$ 의 지수 $\frac{1}{3}$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 5

$x$ 가 $8$ 에 가까워질 때 상수값 $7$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $8$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 6.2

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{5}{3}} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{5}{3}} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot 2^{5} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.4

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{2 \cdot 32 - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.5

$2$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{64 - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.6

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{64 - {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.7

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{64 - 2^{3 (\frac{1}{3})} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.8

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{64 - 2^{3 (\frac{1}{3})} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.8.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{64 - 2^{1} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.9

지수값을 계산합니다.

$\frac{64 - 1 \cdot 2 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.10

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{64 - 2 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.11

$64$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{62 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.1.12

$62$ 를 $7$ 에 더합니다.

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

단계 7.2

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$ 에 $\frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$

단계 7.3

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$ 에 $\frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{(x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}) (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}$

단계 7.4

FOIL 계산법을 이용하여 분모를 전개합니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x^{\frac{16}{5}} + x^{\frac{8}{5}} \cdot 3 - x^{\frac{21}{10}} + 3 x^{\frac{8}{5}} + 9 - 3 \sqrt{x} + x^{\frac{21}{10}} + \sqrt{x} \cdot 3 - {\sqrt{x}}^{2}}$

단계 7.5

간단히 합니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x^{\frac{16}{5}} + 6 x^{\frac{8}{5}} + 9 - x}$

단계 7.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- x + 6 x^{\frac{8}{5}} + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

단계 7.7

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x) + 6 x^{\frac{8}{5}} + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

단계 7.8

$6 x^{\frac{8}{5}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x) - (- 6 x^{\frac{8}{5}}) + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

단계 7.9

$- (x) - (- 6 x^{\frac{8}{5}})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

단계 7.10

$x^{\frac{16}{5}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) - 1 (- x^{\frac{16}{5}}) + 9}$

단계 7.11

$- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) - 1 (- x^{\frac{16}{5}})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) + 9}$

단계 7.12

$9$ 을 $- 1 (- 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) - 1 (- 9)}$

단계 7.13

$- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) - 1 (- 9)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)}$

단계 7.14

$- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)$ 을 $- 1 (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- 1 (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)}$

단계 7.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9}$