미적분 예제

$\frac{lim_{x \to 8} 16 x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1

$16$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{16 lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{\frac{2}{3}}$ 의 지수 $\frac{2}{3}$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 2

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{16 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3

답을 간단히 합니다.

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단계 3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$16$ 을 $2^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2^{4} \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3.1.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3.1.3

${(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2^{4} \cdot 2^{2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2^{4 + 2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3.1.5

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2^{6}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2^{6}}{2^{2} - x^{\frac{4}{3}}}$

단계 3.2.2

$x^{\frac{4}{3}}$ 을 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2^{6}}{2^{2} - {(x^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

단계 3.2.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2$ 이고 $b = x^{\frac{2}{3}}$ 입니다.

$\frac{2^{6}}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$

단계 3.3

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$\frac{64}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$