미적분 예제

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 1

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 5

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 6

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $12$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $3$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 7.2

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 7.3

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{27 - 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 8.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{27 - 3 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 8.1.3

$- 3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{27 - 27 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 8.1.4

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{27 - 27 + 12 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 8.1.5

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{27 - 27 + 12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 8.1.6

$27$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 8.1.7

$0$ 를 $12$ 에 더합니다.

$\frac{12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 8.1.8

$12$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

단계 8.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 8.2.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{0}{(x^{4} - 3 x^{3}) + x - 3}$

단계 8.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{0}{x^{3} (x - 3) + 1 (x - 3)}$

단계 8.2.2

최대공약수 $x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{0}{(x - 3) (x^{3} + 1)}$

단계 8.2.3

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{0}{(x - 3) (x^{3} + 1^{3})}$

단계 8.2.4

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}$

단계 8.2.5

간단히 합니다.

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단계 8.2.5.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}$

단계 8.2.5.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x + 1))}$

$\frac{0}{(x - 3) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

단계 8.3

$0$ 을 $(x - 3) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 로 나눕니다.

$0$