미적분 예제

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + 15 x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 1

$x$ 가 $5$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 4

$15$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 5

$x$ 가 $5$ 에 가까워질 때 상수값 $25$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $5$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$x$ 에 $5$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 6.2

$x$ 에 $5$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2 \cdot 25 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 7.1.2

$2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{50 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 7.1.3

$15$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{50 + 75 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 7.1.4

$50$ 를 $75$ 에 더합니다.

$\frac{125 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 7.1.5

$125$ 를 $25$ 에 더합니다.

$\frac{150}{5 - 4 x - x^{2}}$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$5$ 를 $9$ + $- 4$ 로 다시 씁니다.

$\frac{150}{9 - 4 - 4 x - x^{2}}$

단계 7.2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 7.2.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 4 x + x^{2})}$

단계 7.2.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

단계 7.2.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2})}$

단계 7.2.2.4

$a = 2$ 이고 $b = x$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{150}{9 - {(2 + x)}^{2}}$

단계 7.2.3

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{150}{3^{2} - {(2 + x)}^{2}}$

단계 7.2.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = 2 + x$ 입니다.

$\frac{150}{(3 + 2 + x) (3 - (2 + x))}$

단계 7.2.5

간단히 합니다.

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단계 7.2.5.1

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{150}{(5 + x) (3 - (2 + x))}$

단계 7.2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 1 \cdot 2 - x)}$

단계 7.2.5.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 2 - x)}$

단계 7.2.5.4

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{150}{(5 + x) (1 - x)}$