미적분 예제

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 1

$x$ 가 $\frac{1}{3}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 2

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 5

$x$ 가 $\frac{1}{3}$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $\frac{1}{3}$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 6.2

$x$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.2.1

$3^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.4

$2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{1 + 2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.7

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{3}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{3}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.9

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.11.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{3 - 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.11.2

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{0}{3}}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.1.12

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

단계 7.2.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

단계 7.2.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3 x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

단계 7.3

$0$ 을 $(3 x + 1) (3 x - 1)$ 로 나눕니다.

$0$