미적분 예제

$\frac{\frac{lim_{h \to 0} 1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

단계 1

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\frac{1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

단계 2

답을 간단히 합니다.

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단계 2.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

단계 2.1.2

$\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{h + 2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - \frac{1}{4}}{h}$

단계 2.1.3

$\frac{1}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{h}$

단계 2.1.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{1}{h + 2}$ 이고 $b = \frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{(\frac{1}{h + 2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

단계 2.1.5

간단히 합니다.

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단계 2.1.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{h + 2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

단계 2.1.5.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{h + 2}{h + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

단계 2.1.5.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(h + 2) \cdot 2$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.1.5.3.1

$\frac{1}{h + 2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

단계 2.1.5.3.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{h + 2}{h + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

단계 2.1.5.3.3

$(h + 2) \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(\frac{2}{2 (h + 2)} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

단계 2.1.5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 + h + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

단계 2.1.5.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{h + 2 + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

단계 2.1.5.6

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

단계 2.1.5.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{h + 2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}{h}$

단계 2.1.5.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{h + 2}{h + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

단계 2.1.5.9

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(h + 2) \cdot 2$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.1.5.9.1

$\frac{1}{h + 2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

단계 2.1.5.9.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{h + 2}{h + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

단계 2.1.5.9.3

$(h + 2) \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{2 (h + 2)} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

단계 2.1.5.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}}{h}$

단계 2.1.5.11

인수분해된 형태로 $\frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}$ 를 다시 씁니다.

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단계 2.1.5.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 1 \cdot 2}{2 (h + 2)}}{h}$

단계 2.1.5.11.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 2}{2 (h + 2)}}{h}$

단계 2.1.5.11.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h + 0}{2 (h + 2)}}{h}$

단계 2.1.5.11.4

$- h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h}{2 (h + 2)}}{h}$

단계 2.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot - 1 \frac{h}{2 (h + 2)}}{h}$

단계 2.1.7

지수를 묶습니다.

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단계 2.1.7.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{- (\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{h}{2 (h + 2)})}{h}$

단계 2.1.7.2

$\frac{h + 4}{2 (h + 2)}$ 에 $\frac{h}{2 (h + 2)}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{2 (h + 2) (2 (h + 2))}}{h}$

단계 2.1.7.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 (h + 2) (h + 2)}}{h}$

단계 2.1.7.4

$h + 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} (h + 2))}}{h}$

단계 2.1.7.5

$h + 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} {(h + 2)}^{1})}}{h}$

단계 2.1.7.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{1 + 1}}}{h}$

단계 2.1.7.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}}{h}$

단계 2.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 2.3

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1

$- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- (h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 2.3.2

$- (h + 4) h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 2.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 2.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- (h + 4)}{4 {(h + 2)}^{2}}$

단계 2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{h + 4}{4 {(h + 2)}^{2}}$