미적분 예제

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}}$

단계 1

삼각함수 항등식 적용하기

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단계 1.1

$\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

단계 1.2

$\sin (4 x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$\sin (4 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

단계 1.3.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \csc (x)}$

단계 2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\sqrt{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \csc (x)}$

단계 3

좌극한 값을 살펴 봅니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (4 x) \csc (x)$

단계 4

$x$ 이 왼쪽에서 $0$ 에 접근할 때 함수 $\sin (4 x) \csc (x)$ 의 개형을 보여주는 표를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 3.9006813 \\ - 0.01 & 3.99900006 \\ - 0.001 & 3.99999 \\ - 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

단계 5

$x$ 값이 $0$ 에 접근하면서 함수값이 $4$ 에 접근합니다. 따라서, $x$ 이 $0$ 의 왼쪽에서 접근할 때 $\sin (4 x) \csc (x)$ 의 극한은 $4$ 입니다.

$4$

단계 6

우극한 값을 살펴 봅니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x) \csc (x)$

단계 7

$x$ 이 오른쪽에서 $0$ 에 접근할 때 함수 $\sin (4 x) \csc (x)$ 의 개형을 보여주는 표를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ 0.1 & 3.9006813 \\ 0.01 & 3.99900006 \\ 0.001 & 3.99999 \\ 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

단계 8

$x$ 값이 $0$ 에 접근하면서 함수값이 $4$ 에 접근합니다. 따라서, $x$ 이 $0$ 의 오른쪽에서 접근할 때 $\sin (4 x) \csc (x)$ 의 극한은 $4$ 입니다.

$\sqrt{4}$

단계 9

답을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{2^{2}}$

단계 9.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2$