미적분 예제

$lim_{x \to 3} (\frac{1}{x - 3}) (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2})$

단계 1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1

극한 인수를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{1}{x - 3}$ 에 $\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2}}{x - 3}$

단계 1.1.2

항을 묶습니다.

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단계 1.1.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 3}$

단계 1.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

단계 1.1.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $\sqrt{x + 1} \cdot 2$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.1.2.3.1

$\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{\sqrt{x + 1} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

단계 1.1.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{\sqrt{x + 1} \cdot 2} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

단계 1.1.2.3.3

$\sqrt{x + 1} \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

단계 1.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}}{x - 3}$

단계 1.2

극한 인수를 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{1}{x - 3}$

단계 1.2.2

$\frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1}}$ 에 $\frac{1}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 1.3

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 - \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.2.1.1

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 - lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.2.1.2

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.2.1.3

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.2.1.4

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.2.1.5

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.2.2

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{3 + 1}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.3.1.1

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.2.3.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.2.3.1.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.2.3.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.2.3.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} (x - 3)}$

단계 2.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.3.1

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

단계 2.1.3.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

단계 2.1.3.3

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

단계 2.1.3.4

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot lim_{x \to 3} x - 3}$

단계 2.1.3.5

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3)}$

단계 2.1.3.6

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

단계 2.1.3.7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $3$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.3.7.1

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{3 + 1} \cdot (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3)}$

단계 2.1.3.7.2

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{3 + 1} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

단계 2.1.3.8

답을 간단히 합니다.

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단계 2.1.3.8.1

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{4} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

단계 2.1.3.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{2^{2}} \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

단계 2.1.3.8.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 3)}$

단계 2.1.3.8.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot (3 - 3)}$

단계 2.1.3.8.5

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

단계 2.1.3.8.6

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.1.3.8.7

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.1.3.9

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} (x - 3)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $2 - \sqrt{x + 1}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 1}$ 을(를) ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.3.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.4

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.4.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.12

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.13

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.14

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.4.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.5

$0$ 에서 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1} (x - 3)]}$

단계 2.3.6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 1}$ 을(를) ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)]}$

단계 2.3.7

$f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

단계 2.3.8

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

단계 2.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

단계 2.3.10

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

단계 2.3.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

단계 2.3.12

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

단계 2.3.13

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.13.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 2.3.13.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 2.3.13.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 2.3.14

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 2.3.15

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 2.3.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 2.3.17

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.17.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 2.3.17.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 2.3.18

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 2.3.19

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 2.3.20

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

단계 2.3.21

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

단계 2.3.22

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

단계 2.3.23

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}$

단계 2.3.24

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

단계 2.3.25

$x - 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.26.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.3.26.2

$x - 3$ 에 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.3.26.3

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.4

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.26.6.1

지수를 더하여 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.26.6.1.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.6.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.6.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.6.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.6.2

${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + x \cdot 2 + 1 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.6.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + 2 \cdot x + 1 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.6.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x - 3 + 2 \cdot x + 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.6.6

$x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x - 3 + 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.3.26.6.7

$- 3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 2.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 x - 1}$

단계 2.5

분수 지수를 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x + 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 x - 1}$

단계 2.5.2

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x + 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 1}}{3 x - 1}$

단계 2.6

$\frac{2 \sqrt{x + 1}}{3 x - 1}$ 에 $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{2 \sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \cdot 2 \sqrt{x + 1}}$

단계 2.7

소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{2 \sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \cdot 2 \sqrt{x + 1}}$

단계 2.7.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{\sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) (\sqrt{x + 1})}$

단계 2.7.2

$\sqrt{x + 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{\sqrt{x + 1}}{(3 x - 1) \sqrt{x + 1}}$

단계 2.7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} - \frac{1}{3 x - 1}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 3} \frac{1}{3 x - 1}$

단계 3.2

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 3 x - 1}$

단계 3.3

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - 1}$

단계 3.4

$x$ 가 $3$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 1}$

단계 3.5

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1}$

단계 3.6

$x$ 가 $3$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}$

단계 4

$x$ 에 $3$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

단계 5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 1}$

단계 5.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9 - 1 \cdot 1}$

단계 5.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9 - 1}$

단계 5.3.3

$9$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

단계 5.4

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$\frac{1}{8}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8 \cdot 2}$

단계 5.4.2

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{16}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{1}{16}$

소수 형태:

$- 0.0625$