미적분 예제

$2.7 (\frac{x}{2}) + (18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2.7 (\frac{x}{2}) + (18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$2.7$ 와 $\frac{x}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2.7 x}{2}] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

단계 2.2

$\frac{2.7}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2.7 x}{2}$ 의 미분은 $\frac{2.7}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2.7}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2.7}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

단계 2.4

$\frac{2.7}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = 18 + 1.1 x$ , $g (x) = \frac{120}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}] + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

단계 3.2

$120$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{120}{x}$ 의 미분은 $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

단계 3.3

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

단계 3.4

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $18 + 1.1 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [1.1 x]$ 가 됩니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [1.1 x])$

단계 3.6

$18$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $18$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $18$ 입니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + \frac{d}{d x} [1.1 x])$

단계 3.7

$1.1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $1.1 x$ 의 미분은 $1.1 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \cdot 1)$

단계 3.9

$- 1$ 에 $120$ 을 곱합니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \cdot 1)$

단계 3.10

$1.1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} (0 + 1.1)$

단계 3.11

$0$ 를 $1.1$ 에 더합니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} \cdot 1.1$

단계 3.12

$\frac{120}{x}$ 와 $1.1$ 을 묶습니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120 \cdot 1.1}{x}$

단계 3.13

$120$ 에 $1.1$ 을 곱합니다.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{132}{x}$

단계 3.14

공통 분모를 가지는 분수로 $(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) x}{x} + \frac{132}{x}$

단계 3.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) x + 132}{x}$

단계 3.16

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 (x^{1} x^{- 2})) + 132}{x}$

단계 3.17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{1 - 2}) + 132}{x}$

단계 3.18

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 1}) + 132}{x}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 (- 120 \frac{1}{x}) + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$- 120$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 \frac{- 120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

단계 4.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 (- \frac{120}{x}) + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

단계 4.3.3

$- 1$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- 18 \frac{120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

단계 4.3.4

$- 18$ 와 $\frac{120}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{\frac{- 18 \cdot 120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

단계 4.3.5

$- 18$ 에 $120$ 을 곱합니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{\frac{- 2160}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

단계 4.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

단계 4.3.7

$- 120$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x \frac{- 120}{x} + 132}{x}$

단계 4.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x (- \frac{120}{x}) + 132}{x}$

단계 4.3.9

$- 1$ 에 $1.1$ 을 곱합니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} - 1.1 x \frac{120}{x} + 132}{x}$

단계 4.3.10

$- 1.1$ 와 $\frac{120}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + x \frac{- 1.1 \cdot 120}{x} + 132}{x}$

단계 4.3.11

$- 1.1$ 에 $120$ 을 곱합니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + x \frac{- 132}{x} + 132}{x}$

단계 4.3.12

$x$ 와 $\frac{- 132}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{x \cdot - 132}{x} + 132}{x}$

단계 4.3.13

$x$ 의 왼쪽으로 $- 132$ 이동하기

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{- 132 \cdot x}{x} + 132}{x}$

단계 4.3.14

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.14.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{- 132 x}{x} + 132}{x}$

단계 4.3.14.2

$- 132$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} - 132 + 132}{x}$

단계 4.3.15

$- 132$ 를 $132$ 에 더합니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 0}{x}$

단계 4.3.16

$- \frac{2160}{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x}}{x}$

단계 4.3.17

$\frac{- \frac{2160}{x}}{x}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x} \cdot \frac{1}{x}$

단계 4.3.18

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{2160}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x \cdot x}$

단계 4.3.19

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1} x}$

단계 4.3.20

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1} x^{1}}$

단계 4.3.21

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1 + 1}}$

단계 4.3.22

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{2}}$

단계 4.4

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{2160}{x^{2}} + \frac{2.7}{2}$

단계 4.5

$2.7$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- \frac{2160}{x^{2}} + 1.35$